NCERT Class 9th Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2

NCERT Class 9th Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.2

यहाँ NCERT Class 9th Maths Chapter 6 Ex 6.1 का समाधान आसान तरीके से बताया गया है ताकि आप सारे सवाल बेहद सरल तरीके से बना सकें

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है। (2018, 19)

हल:
चित्रानुसार,
∵ x° + 50° = 180° (कोणों का रैखिक युग्म है)
⇒ x = 180° – 50° = 130°
∵ y = 130° (शीर्षाभिमुख कोण हैं) …(2)
⇒ x = y = 130° [समीकरण (1) एवं (2) से]
लेकिन ये एकान्तर अन्तः कोण हैं।
अतः AB || CD. इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 हैं, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
माना AB || CD एवं CD || EF को तिर्यक रेखा बिन्दु P, Q, R पर प्रतिच्छेद करती है। जहाँ,
∠APQ = x, ∠PQC = y Td ∠QRF = z (दिया है)
∵ ∠DQR = ∠PQC = y (शीर्षाभिमुख कोण हैं) …(1)
∵ ∠DQR + ∠QRF = 180° [एक ही ओर के अन्तः कोणों का युग्म है]

∴ x + y = 180° (एक ही ओर के अन्तः कोणों का युग्म है)
⇒ x + 54° = 180°
⇒ x = 180° – 54° = 126° [∵ y = 54° समीकरण (3) से]
अतः x का अभीष्ट मान = 126°.

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ AB || CD एवं GE तिर्यक रेखा है,
⇒ ∠AGE = ∠GED (एकान्तर कोण हैं)
⇒ ∠AGE = 126° [क्योंकि ∠GED = 126° (दिया है)]
∵ ∠GEF + FED = ∠GED = 126° [∵ ∠GED = 126° (दिया है)]
⇒ ∠GEF + 90° = 126° [∵ EF ⊥ CD (दिया है) ⇒ ∠FED = 90°]
⇒ ∠GEF = 126° – 90° = 36°
∵ ∠FGE + ∠GED = 180° एक ही ओर के अन्तः कोणों का युग्म]
⇒ ∠FGE + 126° = 180° [∠GED = 126° (दिया है)]
∠FGE = 180° – 126° = 54°
अतः अभीष्ट ∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° एवं ∠FGE = 54°.

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130°, तो ∠ORS ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है : PQ || ST, ∠RST = 130°, ∠PQR = 110°
ज्ञात करना है : ∠ORS का मान। रचना : बिन्दु R से होकर किरण RX || ST खींचिए।

उपपत्ति: ∵ PQ || ST (दिया है)
∵ RX || ST (रचना से)
⇒ PQ || ST || RX
∵ ST || RX एवं SR तिर्यक रेखा है ∠SRX + ∠RST = 180° [एक ही ओर के अन्त:कोणों का युग्म है]
⇒ ∠SRX + 130° = 180° [∠RST = 130° (दिया है)]
⇒ ∠SRX = 180° – 130° = 50°
∵ PQ || RX एवं QR तिर्यक रेखा है
⇒ ∠QRX = ∠PQR = 110° [एकान्तर कोण हैं एवं ∠PQR = 110° (दिया है)]
⇒ ∠QRS + ∠SRX = 110° [∵ ∠QRX= ∠QRS + ∠SRX]
⇒ ∠QRS + 50° = 110° [∵ ∠SRX = 50° ज्ञात कर चुके हैं।
⇒ ∠QRS = 110° – 50° = 60°
अतः अभीष्ट कोण ∠QRS = 60°.

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में यदि AB || CD, ∠APQ = 50°, और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ AB || CD को तिर्यक रेखा PQ प्रतिच्छेद करती है
⇒ ∠PQR = ∠APQ (एकान्तर कोण हैं)
⇒ x = 50° [∵ ∠PQR = x एवं ∠APQ = 50° (दिया है)]
∵ APQR की भुजा QR बिन्दु D तक बढ़ी है
⇒ ∠PQR + ∠QPR = ∠PRD [∵ किसी त्रिभुज का बहिष्कोण सम्मुख अन्त:कोणों के योग के बराबर होता है]
⇒ 50° + y = 127° [∵ ∠PQR = x = 50 ज्ञात कर चुके हैं ∠QPR = y एवं ∠PRD = 127° (दिए हैं)]
⇒ y = 127° – 50° = 77°
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 50° एवं 77° हैं।

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (Incident Ray) AB दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (Reflected Ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS +-T से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

हल:
∵ दर्पण PQ के बिन्दु B पर आपतित किरण AB एवं परावर्तित किरण BC है।
⇒ ∠PBA = ∠QBC …(1) (परावर्तन के नियम से)
∵ दर्पण RS के बिन्दु C पर आपतित किरण BC एवं परावर्तित किरण CD है।
⇒ ∠BCR = ∠DCS …(2) (परावर्तन के नियम से)
∵ PQ || RS को तिर्यक रेखा BC बिन्दुओं B एवं C पर प्रतिच्छेद करती है।
⇒ ∠QBC = ∠BCR …(3) (एकान्तर कोण हैं)
∵ ∠PBA + ∠ABC + ∠QBC = ∠BCR + ∠BCD + ∠DCS = 180° …(4)
(∵ रेखा के एक बिन्दु पर एक ही ओर के कोणों का योग = 180°)
∵ ∠PBA = ∠QBC = ∠BCR = ∠DCS [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
⇒ ∠PBA + ∠QBC = ∠BCR + ∠DCS …(5)
⇒ ∠ABC = ∠BCD [समीकरण (4) – समीकरण (5) से]
लेकिन ये एकान्तर कोण है
अतः AB || CD. इति सिद्धम्