NCERT Class 9th Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1

NCERT Class 9th Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1

यहाँ NCERT Class 9th Maths Chapter 6 Ex 6.1 का समाधान आसान तरीके से बताया गया है ताकि आप सारे सवाल बेहद सरल तरीके से बना सकें

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में रेखाएँ AB और CD बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + LBOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञातकीजिए।

हल:
∴∠AOC = ∠BOD = 40° ….(1) .. [शीर्षाभिमुख कोण हैं तथा ∠BOD = 40° (दिया है)]
∠AOC + ∠BOE = 70° …(2) (दिया है)
⇒ 40° + ∠BOE = 70° [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠BOE = 70° – 40° = 30° ….(3)
अतः अभीष्ट कोण ∠BOE = 30°
∴ ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° [ रेखा AB के बिन्दु 0 पर बने एक ओर के कोण हैं] …(4)
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180° [समीकरण (1), (3) एवं (4) से]
⇒ ∠COE = 180° – 40° – 30° = 180° – 70° = 110° …(5)
⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – ∠COE (परिभाषा से) …(6)
⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 360° – 110° = 250° [समीकरण (5) एवं (6) से]
अतः अभीष्ट प्रतिवर्ती ∠COE = 250°.

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में रेखाएँ XY और MN बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY= 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

हल:
∵ a/b = 2/3 (दिया है)
⇒ a = \(\frac { 2 }{ 3 }\)b ….(1)
∵ a + b + ∠POY = 180° [∵ XY के बिन्दु 0 पर एक ओर बने कोण हैं।]
⇒ a + b + 90° = 180° [∵ ∠POY = 90° (दिया है)]
⇒ a + b = 180° – 90° = 90° …(2)
⇒ \(\frac { 2 }{ 3 }\)b + b = 90° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ 90° = b = \(\frac { 3 }{ 5 }\) x 90° = 3 x 18° = 54°
∵ b + c = 180° [∵ MN के बिन्दु 0 पर एक ओर बने कोण हैं।]
⇒ 54° + c = 180°
⇒ c = 180° – 54° = 126° [∵ b = 54° समीकरण (3) से]
अतः अभीष्ट कोण c = 126°.

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में यदि ∠PQR = ∠PRQ तो सिद्ध कीजिए कि : ∠PQS = ∠PRT है।

हल:
∵ ∠PQS + ∠PQR = 180° (∵ रेखा ST के बिन्दु Q पर बने एक ओर के कोण है) …(1)
∵ ∠PRQ + ∠PRT = 180° (∵ रेखा ST के बिन्दु R पर बने एक ओर के कोण है) …(2)
⇒ ∠PQS + ∠PQR = ∠PRQ + ∠PRT, [समीकरण (1) एवं (2) से] …(3)
∵ ∠PQR = ∠PRQ (दिया है) …(4)
अतः ∠PQS = ∠PRT. [समीकरण (3) – समीकरण (4) से]

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में यदि x + y = w + x है तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

हल:
चूँकि एक बिन्दु पर बने सभी कोणों का योग = 360°
⇒ x + y + z + w = 360° …(1)
∵ x + y = w + z …(2)
⇒ (x + y) + (x + y) = 360° [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ 2 (x + y) = 360°
⇒ x + y = \(\frac { { 360 }^{ ° } }{ 2 }\) = 180°
अत: AOB एक रेखा है। (रैखिक युग्म अभिगृहीत से)

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच OS एक अन्य किरण है।
सिद्ध कीजिए: ∠ROS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (∠QOS – ∠POS). (2018)

हल:
∵ ∠QOS = ∠ROS + ∠ROQ (चित्रानुसार) …(1)
∵ ∠POS = ∠POR – ∠ROS (चित्रानुसार) …(2)
∠POR = ∠ROQ = 90° (∵ RO ⊥ PQ) …(3)
∠POS = ∠ROQ – ∠ROS [समीकरण (2) एवं (3) से] …(4)
⇒ ∠QOS – ∠POS = 2 ∠ROS [समीकरण (1) – समीकरण (4) से]
अतः ∠ROS = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(∠QOS – ∠POS). इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° और XY को बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
दी हुई सूचना के आधार पर खींची गई आकृति चित्र 6.15 में है।
प्रश्नानुसार,
∠XYZ = 64° …(1)
⇒ ∠ZYP = 180° – ∠XYZ = 180° – 64° = 116° …(2)
चूँकि किरण YQ, ∠ZYP की समद्विभाजक है। (दिया है)
⇒ ZYQ = ∠OYP = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠ZYP ….(3)
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 116° = 58° [समीकरण (2) एवं (3) से] …(4)
∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ = 64° + 58° = 122° [समी. (1) एवं (4) से]
एवं प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – ∠QYP
प्रतिवर्ती ∠OYP = 360° – 58° ∵ ∠QYP = 58°, समी. (4) से]
= 302°
अतः अभीष्ट ∠XYQ = 122° एवं अभीष्ट प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°.