NCERT Class 9th Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

NCERT Class 9th Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

यहाँ NCERT Class 9th Maths Chapter 13 Ex 13.8 का समाधान आसान तरीके से बताया गया है ताकि आप सारे सवाल बेहद सरल तरीके से बना सकें

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:
(i) 7 cm
(ii) 0.63 m.
हल :
(i) गोले की त्रिज्या R = 7 cm (दिया है।)
गोले का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(7)^{3} \mathrm{cm}^{3}\)
\(=\frac{88 \times 49}{3}=\frac{4312}{3}\)
= 1437.33 cm³ (लगभग)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 1437.33 cm³. (लगभग)

(ii) गोले की त्रिज्या R = 0.63 m (दिया है)
गोले का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.63)^{3} \mathrm{m}^{3}\)
= 88 x 0.63 x 0.63 x 0.03
= 105 m³ (लगभग)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 1.05 m³.(लगभग)

प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका व्यास निम्न है
(i) 28 cm
(ii) 0.21 m.
हल :
ठोस गेंद द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = गेंद का आयतन
(i) गोलाकार गेंद का दिया गया व्यास d = 28 cm ⇒ त्रिज्या R = 14 cm
गोलाकार गेंद का आयतन \(\frac { 1 }{ 2 }\)
\(V=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(14)^{3}\)
\(=\frac{88}{3} \times 14 \times 14 \times 2\)
V = \(\frac { 34496 }{ 3 }\)
= 11498.67 cm³ (लगभग)
अतः हटाए गए पानी का अभीष्ट आयतन = 11498.67 cm³. (लगभग)

(ii) गोलाकार गेंद का व्यास d = 0.21 m ⇒ त्रिज्या r = 0.105 m
गोलाकार गेंद का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0 \cdot 105)^{3} \mathrm{m}^{3}\)
= 88 x 0.105 x 0.105 x 0.005
= 0.004851 m³
अतः हटाए गए पानी का अभीष्ट आयतन = 0.004851 m³.

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : गेंद का व्यास d = 2R = 4.2 cm = R = 2.1 cm एवं धातु का घनत्व D = 8.9g/cm³
गोलाकार गेंद का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2 \cdot 1)^{3} \mathrm{cm}^{2}\)
= 8.8 x 2.1 x 2.1
= 38.808 cm³
धातु का द्रव्यमान = घनत्व – आयतन
= 8.9 x 38.808 g
= 345.39 g (लगभग)
अतः धातु का अभीष्ट द्रव्यमान = 345.39 g. (लगभग)

प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :
मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = d मात्रक है ⇒ चन्द्रमा का व्यास = \(\frac { d }{ 4 }\) मात्रक
पृथ्वी की त्रिज्या \(R_{e}=\frac{d}{2}\) मात्रक एवं चन्द्रमा की त्रिज्या \(R_{m}=\frac{d}{8}\) मात्रक
पृथ्वी का आयतन, \(V_{e}=\frac{4}{3} \pi\left(\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\right)^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{1}{6} \pi d^{3}\) …(1)
चन्द्रमा का आयतन, \(V_{m}=\frac{4}{3} \pi\left(R_{m}\right)^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{8}\right)^{3}=\frac{\pi d^{3}}{384}\) मात्रको

अतः चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की अभीष्ट भिन्न = \(\frac { 1 }{ 64 }\).

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :
अर्द्धगोलाकार कटोरे का व्यास, d = 10.5 cm (दिया गया है।)
त्रिज्या R = \(\frac { 10.5 }{ 2 }\) cm = 5.25 cm
कटोरे की धारिता \(V=\frac{2}{3} \pi R^{3}=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(5 \cdot 25)^{3}\)
= 44 x 5.25 x 5.25 x 0.25
= 303.1875 cm³
= 0.3032 लीटर (लगभग)
अत: कटोरे में अभीष्ट 0.3032 लीटर (लगभग) दूध आ सकता है।

प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या 1 m है तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : टंकी की आन्तरिक त्रिज्या R₂ = 1 m एवं लोहे की शीट की मोटाई = 1 cm = 0.01 m
⇒ बाह्य त्रिज्या R₁ = 1.01 m
लोहे का आयतन V = टंकी का बाह्य आयतन – टंकी का आन्तरिक आयतन

अत: लोहे का अभीष्ट आयतन = 0.06286 m³ (लगभग)।

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल :
चूँकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²
\(4 \times \frac{22}{7} R^{2}=154 \Rightarrow R^{2}=\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)
\(R=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
गोले का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}\)
\(=\frac{11}{3} \times 49=\frac{539}{3}=179 \cdot 67 \mathrm{cm}^{3}\)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 179.67 cm³.

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले का आकार का है। अन्दर से इसमें सफेदी कराने में Rs 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर Rs 2 प्रति वर्ग मीटर है तो ज्ञात कीजिए
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।
हल :
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

अतः गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48 m².

(ii) अर्द्धगोले का वक्रीय पृष्ठ = 2πR²

चूँकि हवा का आयतन V = गुम्बद की धारिता
\(=\frac{2}{3} \pi(R)^{3}=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}(6 \cdot 3)^{3} \mathrm{m}^{3}\)
= 44 x 6.3 x 6.3 x 0.3
= 523.9 m³
अतः हवा का अभीष्ट आयतन = 523.9 m³.

प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताईस ठोस गोलों को पिघलाकर जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है। एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए:
(i) नये गोले की त्रिज्या r’,
(ii) S और S’ का अनुपात।
हल :
(i) नये गोले का आयतन = 27 पुराने गोलों का आयतन
\(\frac{4}{3} \pi\left(r^{\prime}\right)^{3}=27 \times \frac{4}{3} \pi(r)^{3}\)
(r’)³ = (3r)³ ⇒ r’ = 3r मात्रक
अतः नये गोले की त्रिज्या r’ = 3r मात्रक।।

(ii) S : S’ = 4πr² : 4πr’² = r² : r’²
S : S’ = r² : (3r)² = r² : 9r² = 1 : 9
अतः S : S’ का अभीष्ट अनुपात = 1 : 9.

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैप्सूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी (mm³) दवाई की आवश्यकता होगी ?
हल :
दवा का आयतन = गोली का आयतन = \(\frac{4}{3} \pi(R)^{3}\)
\(V=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{3 \cdot 5}{2}\right)^{3}\) (चूँकि व्यास 2R = 3.5 दिया है)
\(V=\frac{11}{3} \times 3 \cdot 5 \times 3 \cdot 5 \times 0 \cdot 5=\frac{67 \cdot 375}{3}=22 \cdot 46 \mathrm{mm}^{3}\) (लगभग)
अतः कैप्सूल को भरने के लिए आवश्यक दवा = 22.46 mm³. (लगभग)