NCERT Class 9th Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

NCERT Class 9th Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

यहाँ NCERT Class 9th Maths Chapter 13 Ex 13.7 का समाधान आसान तरीके से बताया गया है ताकि आप सारे सवाल बेहद सरल तरीके से बना सकें

प्रश्न 1.
उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है। (2018)
(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
हल :
(i) शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(6)^{2} \times 7=264 \mathrm{cm}^{3}\)
अत: शंकु का अभीष्ट आयतन = 264 cm³.

(ii) शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(3 \cdot 5)^{2} \times 12=154 \mathrm{cm}^{3}\)
अतःशंकु का अभीष्ट आयतन = 154 cm³.

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।
(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।
हल :
(i) शंकु की ऊँचाई \(h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{(25)^{2}-(7)^{2}}\)
\(=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}\)
= 24 cm
अब शंकु का आयतन \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(7)^{2} \times 24=1232 \mathrm{cm}^{3}\)
= 1.232 लीटर
अतःशंक्वाकार बर्तन की अभीष्ट धारिता = 1.232 लीटर।

(ii) शंकु की त्रिज्या \(r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}}=\sqrt{169-144}\)
= √25
= 5 cm
अब शंकु का आयतन \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(5)^{2} \times 12\)
\(=\frac{2200}{7}=314 \cdot 3 \mathrm{cm}^{3}\)
= 0.3143 लीटर (लगभग)
अतः शंक्वाकार बर्तन का अभीष्ट आयतन = 0.3143 लीटर। (लगभग)

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।
हल:
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(\frac{1}{3} \times 3 \cdot 14 \times r^{2} \times 15=1570 \Rightarrow r^{2}=\frac{1570}{15.70}=100 \mathrm{cm}^{2}\)
r = √100 = 10 cm
अत: शंकु के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 10 cm.

प्रश्न 4.
यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(\frac{1}{3} \times \pi \times r^{2} \times 9=48 \pi \Rightarrow r^{2}=16 \Rightarrow r=\sqrt{16}=4 \mathrm{cm}\)
शंकु का व्यास = 2 x r = 2 x 4 = 8 cm
अतः शंकु का अभीष्ट व्यास = 8 cm.

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 m वाले एक शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटर में कितनी है ?
हल :
दिया है : शंकु का व्यास = 3.5 m ⇒ त्रिज्या r = \(\frac { 3.5 }{ 2 }\) m
शंक्वाकार गड्ढे का आयतन = \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{3 \cdot 5}{2}\right)^{2} \times 12\)
⇒ गड्ढे का धारिता = 38.5 m³ = 38.5 किलोलीटर
अत: गड्ढे की अभीष्ट धारिता = 38.5 किलोलीटर।

प्रश्न 6.
एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है. तो ज्ञात कीजिए:
(i) शंकु की ऊँचाई,
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई,
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल : (i) शंकु के आधार का व्यास d = 28 cm ⇒ त्रिज्या r = 14 cm
शंकु का आयतन \(V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h \Rightarrow \frac{1}{3} \times \frac{22}{7}(14)^{2} \times h\)
= 9856
\(h=\frac{9856 \times 3 \times 7}{22 \times 14 \times 14}=\frac{206976}{4312}\)
= 48 cm
अत: शंकु की अभीष्ट ऊँचाई = 48 cm.

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई \(l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{(48)^{2}+(14)^{2}}\)
\(l=\sqrt{2304+196}=\sqrt{2500}\)
= 50 cm
अतः शंकु की अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 50 cm.

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 14 x 50 = 2200 cm²
अतः शंकु का अभीष्ट वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2200 cm².

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले समकोण त्रिभुज ABC को 12 cm की भुजा के परितः घुमाने पर बना ठोस एक लम्बवृत्तीय शंकु होगा जिसकी त्रिज्या r = 5 cm और ऊँचाई h = 12 cm होगी।
शंकु का आयतन \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \pi \times(5)^{2} \times 12\)
= 100π cm³ अर्थात् \(\frac { 2200 }{ 7 }\) = 314.29 cm³
अतः शंकु का अभीष्ट आयतन = 314.29 cm³.

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार बने ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :
भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले समकोण त्रिभुज ABC को 5 cm की भुजा के परितः घुमाने से बना ठोस एक लम्बवृत्तीय शंकु होगा जिसकी त्रिज्या = 12 cm एवं ऊँचाई = 5 cm
अब शंकु का आयतन \(=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \pi(12)^{2} \times 5=240 \pi \mathrm{cm}^{3}\)
अर्थात् \(240 \times \frac{22}{7}=\frac{5280}{7}\).
= 754.29 cm³
प्रश्न 7 के शंकु और प्रश्न 8 के शंकु के आयतनों में अनुपात
= 100π : 240π = 5 : 12
अतः शंकु का अभीष्ट आयतन = 754.29 cm³
एवं दोनों शंकुओं के आयतनों का अनुपात = 5 : 12.

प्रश्न 9.
गेहूँ की एक ढेरी 10.5m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए कैनवास से ढका जाना है। वांछित कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : शंक्वाकार ढेरी के आधार का व्यास d = 10.5 m
⇒ त्रिज्या, r = \(\frac { 10.5 }{ 2 }\) = 5.25 m और ऊँचाई h = 3 m
तिर्यक ऊँचाई \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(5 \cdot 25)^{2}+(3)^{2}}\)
\(=\sqrt{27 \cdot 5625+9}=\sqrt{36 \cdot 5625}\)
= 6.05 (लगभग)
शंक्वाकार गेहूँ की ढेरी का आयतन \(V=\frac{1}{3} \times \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(5 \cdot 25)^{2} \times 3 \mathrm{m}^{3}\)
= 22 x 5.25 x 0.75
= 86.625 m³.
शंक्वाकार गेहूँ की ढेरी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
⇒ \(S_{c}=\frac{22}{7} \times 5.25 \times 6.05=\frac{698.775}{7}=99.825 \mathrm{m}^{2}\)
= 99.825 m²
अतः गेहूँ की शंक्वाकार ढेरी का अभीष्ट आयतन = 86.625 m³
एवं ढेरी को ढकने के लिए आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल = 99.825 m².