NCERT Class 9th Maths Chapter 10 वृत्त Extra Questions

NCERT Class 9th Maths Chapter 10 वृत्त Extra Questions

यहाँ NCERT Class 9th Maths Chapter 10 Extra Questions का समाधान आसान तरीके से बताया गया है ताकि आप सारे सवाल बेहद सरल तरीके से बना सकें

NCERT Class 9th Maths Chapter 10 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

NCERT Class 9th Maths Chapter 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि PO और R क्रमशः एक त्रिभुज की भुजाओं BC. CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं तथा AD शीर्ष A से BC पर लम्ब है तो सिद्ध कीजिए कि P, Q, R और D चक्रीय
हल:

चित्र 10.27
दिया है : P Q और R क्रमश: ∆ABC की भुजाओं BC, CA एवं AB के मध्य-बिन्दु हैं तथा AD I BC है।
सिद्ध करना है : P, Q, R और D चक्रीय हैं।
रचना : PO, QR और RD को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि R और Q क्रमश: ∆ABC की भुजाओं AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ RQ || BC …(1)
एवं बिन्दु P और Q क्रमश: ∆ABC की भुजाओं BC और AC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ PQ || BA …(2)
⇒ PQRB एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒∠RBP = ∠RQP …(3) (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)
समकोण ∆ADB में कर्ण AB के मध्य-बिन्दु R को शीर्ष D से मिलाया।
⇒ RD = RB (RD कर्ण AB की आधी है)
⇒ ∠RBD = ∠ RDB (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
⇒ ∠RDB = ∠RBD = ∠RQP (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)
लेकिन LRDB + ∠ RDP = 180° (BC के बिन्दु D पर एक ओर के कोण हैं)
∠RQP + ∠ RDP = 180° (∠RDB = ∠RQP)
अतः P, Q, R और D चक्रीय हैं। (PQRD के सम्मुख कोण सम्पूरक हैं।)

प्रश्न 2.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A और B से होकर एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि यह AD को P पर और BC को Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि P, Q, C और D चक्रीय हैं।
हल:

चित्र 10.28
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज जिसके शीर्ष A और B से होकर एक वृत्त खींचा गया है, जो AD को P पर तथा BC को Q पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है : P Q, C और D चक्रीय हैं।
उपपत्ति : चूँकि ∠ABQ + ∠APQ = 180°…(1) (चक्रीय चतुर्भुज ABOP के सम्मुख कोण हैं)
चूँकि ∠DCQ+ ∠ABQ = 180° …(2) (AB || DC एवं तिर्यक रेखा BC के एक ओर के अन्तः कोण हैं)
चूँकि ∠APO + ∠DPO = 180° …(3) (AD के बिन्दु P पर बने एक ओर के कोण)
⇒ ∠DCQ + ∠ABQ + ∠APQ + ∠DPQ = 360° [समीकरण (2) + (3) से] …(4)
⇒ ∠DCQ + ∠DPQ = 180° [समीकरण (4) – (1) से]
अत: P, Q, C और D चक्रीय हैं। (□ PQCD के सम्मुख कोण सम्पूरक है) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि PB = PD.
हल:
ज्ञात है : एक वृत्त की दो जीवाएँ AB = CD बढ़ाने पर बिन्दु P पर मिलती हैं।
सिद्ध करना है : PB = PD
रचना : AD एवं BC को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि ∠ABC = ∠ADC ….(1) (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
चूँकि ∠CBD = ∠ADB ….(2) (बराबर जीवाओं द्वारा शेष परिधि पर बने कोण हैं)
⇒ ∠ABC + ∠CBD = ∠ADC + ∠ADB [समीकरण (1) और (2) से]

चित्र 10.29
⇒ ∠ABD = ∠CDB (चित्रानुसार)
⇒ ∠ PBD = ∠PDB (बराबर कोणों के सम्पूरक बराबर होते हैं)
अतः PB = PD. (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं) इति सिद्धम्

NCERT Class 9th Maths Chapter 10 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
A, B और C किसी वृत्त पर स्थित तीन बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि AB, BC और CA के लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाते हैं।
हल:
ज्ञात है : एक वृत्त पर स्थित तीन बिन्दु A, B और C। AB, BC और CA को मिलाया गया है।
मान लीजिए AB और AC के लम्बार्धक बिन्दु O पर मिलते हैं। OD ⊥ BC खींचा गया है।
सिद्ध करना है : OD, BC का लम्बार्द्धक है तथा O वृत्त का केन्द्र है।

चत्र 10.30
रचना:
OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति : चूँकि बिन्दु O भुजा AB के लम्बार्द्धक पर स्थित है।
⇒ OA = OB …(1) (किसी रेखाखण्ड के लम्बार्द्धक का प्रत्येक बिन्दु रेखाखण्ड के सिरों से बराबर दूरी पर होता है)
चूँकि बिन्दु O भुजा AC के लम्बार्द्धक पर स्थित है।।
⇒ OA = OC …(2) (किसी रेखाखण्ड के लम्बार्द्धक का प्रत्येक बिन्दु रेखाखण्ड के सिरों पर बराबर दूरी पर होता है)
⇒ OB = OC [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ O भुजा BC के लम्बार्द्धक पर स्थित होगा
OD ⊥ BC ज्ञात है।
⇒ OD भुजा BC का लम्बार्द्धक है।
चूँकि वृत्त की त्रिज्याएँ OA = OB = OC समीकरण (1) और (2) से]
अत: AB, BC और CA के लम्बार्द्धक वृत्त के केन्द्र से होकर जाते हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
AB और AC वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BAC का समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल:
ज्ञात है : वृत्त पर दो जीवाएँ AB = AC दी हैं तथा AD, ∠BAC का समद्विभाजक है जो BC से मिलाने पर उसे बिन्दु D पर मिलता है।
सिद्ध करना है : AD वृत्त के केन्द्र से होकर जायेगा।
उपपत्ति: ∆ADB और ∆ADC में,
चूँकि AB = AC (दिया है)

चित्र 10.31
∠BAD = ∠CAD
एवं AD = AD (उभयनिष्ठ है)
⇒ ∆ADB ≅ ∆ADC (SAS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ ∠ADB = ∠ADC एवं BD = CD (CPCT)
लेकिन ∠ADB + ∠ADC = 180° (BC के बिन्दु D पर एक ओर बने कोण हैं)
∠ADB = ∠ADC = 90°
⇒ AD जीवा BC पर लम्ब समद्विभाजक है।
अतः AD वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि वृत्त की दो जीवाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला , रेखाखण्ड वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जीवाएँ समान्तर हैं।
हल:
ज्ञात है : केन्द्र O वाला एक वृत्त जिसकी दो जीवाएँ AB और CD के मध्य-बिन्दु क्रमशः M और N हैं। MN वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है।
सिद्ध करना है : AB || CD
उत्पत्ति : चूँकि जीवा AB के मध्य-बिन्दु M को केन्द्र O से मिलाया गया है।

चित्र 10.32
⇒ OM ⊥AB अर्थात् ∠AMO= ∠BMO = 90°
चूँकि जीवा CD के मध्य बिन्दु N को केन्द्र Oसे मिलाया गया है।
⇒ ON ⊥ CD अर्थात् ∠CNO =∠DNO = 90°.
चूँकि दो रेखाओं AB और CD को एक तिर्यक रेखा MN प्रतिच्छेद कर रही है और
∠AMO + ∠CNO = 90° + 90° = 180°
अतः AB || CD. (एक ही ओर के अन्तः कोण है) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और AC क्रमशः 90° और 150° के कोण अन्तरित करती है। ∠BAC ज्ञात कीजिए, यदि AB और AC केन्द्र के विपरीत ओर स्थित है।
हल:
ज्ञात है: केन्द्र O वाले एक वृत्त की जिसकी दो जीवाएँ AB और AC वृत्त के केन्द्र के विपरीत स्थित हैं तथा केन्द्र पर क्रमश: 90° और 150° के कोण अन्तरित करती हैं।
∠BAC का मान ज्ञात करना है।

चित्र 10.33
चूँकि ∠AOB + ∠AOC + ∠ BOC = 360° (एक बिन्दु पर बने कोण है)
⇒ 90° + 150° + ∠BOC = 360°
⇒ ∠BOC = 360° – 240° = 120°
∠ BAC = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BOC (किसी चाप द्वारा शेष परिधि पर बना कोण उसी चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है)
⇒ ∠BAC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120° = 60° (∠ BOC = 120° ज्ञात कर चुके हैं)
अत: ∠ BAC का अभीष्ट मान = 60°.

प्रश्न 5.
यदि BM और CN त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB पर खींचे गए लम्ब हैं, तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु B, C, M और N चक्रीय हैं।
हल:

चित्र 10.34
ज्ञात है : ∆ABC की भुजाओं AC और AB पर क्रमशः BM और CN लम्ब खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है : B, C, M और N चक्रीय हैं।
उपपत्ति: ∠BNC = 90° …(1) (CN ⊥ AB) ।
एवं ∠CMB = 90° …(2) (BM ⊥ AC)
∠BNC = ∠ CMB = 90° [समीकरण (1) और (2) से]
जब कोई दो बिन्दु अपने एक ही ओर अन्य दो बिन्दुओं पर बराबर कोण अन्तरित करें, तो चारों बिन्दु चक्रीय होते हैं।
अंत: B, C, M और N चक्रीय हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समान्तर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाये, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।
हल:

चित्र 10.35
ज्ञात है : समद्विबाहु ∆ABC जिसमें AB = AC तथा DE || BC भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : □BCED एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति : चूँकि ∠ABC = ∠ACB …(1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
चूँकि ∠ABC + ∠BDE = 180° (BC || DE द्वारा तिर्यक रेखा AB के एक ही ओर बने अन्त:खण्ड हैं) …(2)
∠ACB + ∠BDE = 180° [ समीकरण (1) और (2) से]
अतः चतुर्भुज BCED चक्रीय चतुर्भुज है। (सम्मुख ∠ACB एवं ∠ BDE सम्पूरक है) इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
किसी वृत्त की एक जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्तखण्ड में किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

चित्र 10.36
ज्ञात है : एक वृत्त जिसकी जीवा AB = OA = OB वृत्त की त्रिज्या तथा दीर्घ वृत्तखण्ड पर कोई बिन्दु P है।
ज्ञात करना है : ∠APB का मान।
∆OAB में, OA = OB = AB (दिया है)
⇒ ∠AOB = 60° (समद्विबाहु त्रिभुज का एक कोण है)
चूँकि ∠APB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠AOB (किसी जीवा द्वारा शेष परिधि
पर बना कोण उसके द्वारा केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है)
⇒ ∠APB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 60° = 30°
अत: ∠APB का अभीष्ट मान = 30°.

NCERT Class 9th Maths Chapter 10 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित में प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD में से प्रत्येक केन्द्र से 4 cm की दूरी पर हैं। तब AB = CD है।
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि केन्द्र से बराबर दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।

प्रश्न 2.
केन्द्र O वाले वृत्त की दो जीवाएँ AB और AC, OA के विपरीत ओर स्थित हैं। तब ∠AOB = ∠AOC है।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि कोण तभी बराबर होंगे जब AB = AC.

प्रश्न 3.
O और O’ केन्द्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त A और B दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब ∠AOB = ∠AO’B
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ संगत केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।

प्रश्न 4.
तीन संरेख बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि किन्हीं दो बिन्दुओं से होकर जाने वाला वृत्त इन दोनों बिन्दुओं के संरेख तीसरे बिन्दु से होकर नहीं जा सकता।

प्रश्न 5.
दो बिन्दुओं A और B से होकर 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जा सकता है यदि AB = 6 cm है।
उत्तर:
कथन सत्य है, तब AB इसका व्यास होगा।

प्रश्न 6.
AOB वृत्त का एक व्यास है तथा C वृत्त पर स्थित कोई बिन्दु है। तब AC² + BC² = AB² है।
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि ∆ACB कोण C पर एक समकोण त्रिभुज है। (पाइथागोरस प्रमेय से)

प्रश्न 7.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें ∠A = 90°, LB = 70°, ∠C = 95° और ∠D = 105° हैं।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि ∠A + ∠C = 90° + 95° = 185° + 180°.

प्रश्न 8.
यदि A, B, C और D चार बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠ BAC = 30° और ∠ BDC = 60° है, तो D उस वृत्त का केन्द्र है, जो A, B और C बिन्दुओं से होकर खींचा जाता है।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि ऐसे अनेक बिन्दु D हो सकते हैं कि ∠BDC = 60° हो जिनमें से प्रत्येक बिन्दु A, B और C से खींचे जाने वाले वृत्त का केन्द्र नहीं हो सकता।

प्रश्न 9.
यदि A, B, C और D चार बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠ BAC = 45°, और ∠ BDC = 45° है, तो A, B,C और D चक्रीय है।
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि ∠BAC और ∠BDC एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।

NCERT Class 9th Maths Chapter 10 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. किसी वृत्त का AD एक व्यास है और AB एक जीवा है। यदि AD = 34 cm, AB = 30 cm है, तो वृत्त के केन्द्र से AB की दूरी है :
(a) 17 cm
(b) 15 cm
(c) 4 cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(d) 8 cm.

प्रश्न 2.
यदि AB = 12 cm, BC = 16 cm और AB रेखाखण्ड BC पर लम्ब है, तो A, B और C से होकर जाने वाली वृत्त की त्रिज्या है :
(a) 6 cm
(b) 8 cm
(c) 10 cm
(d) 12 cm.
उत्तर:
(c) 10 cm

प्रश्न 3.
ABCD एक ऐसा चक्रीय चतुर्भुज है कि AB इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त का एक व्यास है तथा ∠ADC = 140° है। तब ∠BAC बराबर है :
(a) 80°
(b) 50°
(c) 40°
(d) 30°.
उत्तर:
(b) 50°

प्रश्न 4.
तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर अधिकतम वृत्त खींचे जा सकते हैं :
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) अनेक।
उत्तर:
(a) एक

प्रश्न 5.
अर्द्धवृत्त पर बना कोण होता है :
(a) 180°
(b) 90°
(c) 45°
(d) 270°.
उत्तर:
(b) 90°

प्रश्न 6.
5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 3 cm की दूरी पर स्थित जीवा की लम्बाई होगी :
(a) 4 cm
(b) 10 cm
(c) 6 cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(c) 6 cm

प्रश्न 7.
किसी चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग होता है :
(a) 360°
(b) 90°
(c) 180°
(d) 60°.
उत्तर:
(c) 180°

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को …….. कहते हैं।
2. वृत्त के एक ही खण्ड (अवधा) के कोई दो कोण ………… होते हैं।
3. अर्द्धवृत्त का कोण ……….. होता है।
4. वृत्त की परिधि के किन्हीं दो बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड को वृत्त की ……. कहते हैं।
5. वृत्त के केन्द्र से वृत्त की जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को ……….. करता है।
6. यदि किसी वृत्त की त्रिज्याएँ बराबर हों तो वे …….. होते हैं।
7. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग ……….. होता है।
8. दो वृत्त सदैव ……… होते हैं।
उत्तर:
1. व्यास,
2. बराबर,
3. समकोण,
4. जीवा,
5. समद्विभाजित,
6. बराबर (सर्वांगसम),
7. 180°,
8. समरूप।

जोड़ी मिलान

उत्तर:
1. → (c),
2. → (f),
3. → (e),
4. → (a),
5. → (b),
6. → (d).

सत्य/असत्य कथन
1. दीर्घ वृत्तखण्ड में अन्तरित कोण न्यूनकोण होता है।
2. वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।
3. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा त्रिज्या कहलाती है।
4. अर्द्धवृत्त में अन्तरित कोण समकोण होता है।
5. यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हों, तो वे वृत्त सर्वांगसम होते हैं।
6. तीन असरेख बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
उत्तर:
1. सत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य,
6. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर
1. अर्द्धवृत्त में अन्तरित कोण कैसा होता है ?
2. दीर्घ वृत्तखण्ड में अन्तरित कोण कैसा होता है ?
3. लघु वृत्तखण्ड में अन्तरित कोण कैसा होता है ?
4. चक्रीय समान्तर चतुर्भुज क्या कहलाता है?
5. चक्रीय समचतुर्भुज क्या कहलाता है ?
6. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा क्या कहलाती है?
उत्तर:
1. समकोण,
2. न्यूनकोण,
3. अधिक कोण,
4. आयत,
5. वर्ग,
6. व्यास।