NCERT Class 9th Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3

NCERT Class 9th Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3

यहाँ NCERT Class 9th Maths Chapter 1 Ex 1.3 का समाधान आसान तरीके से बताया गया है ताकि आप सारे सवाल बेहद सरल तरीके से बना सकें

प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:

उत्तर:
(i) 0.36 – सांत
(ii) 0.090909 …… = \(0.\overline { 09 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(iii) 4.125 – सांत
(iv) 0.230769230769…. = \(0.\overline { 230769 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(v) 0.181818 ….. = \(0.\overline { 18 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(vi) 0.8225 – सांत

प्रश्न 2.
आप जानते हैं कि \(\frac { 1 }{ 7 }\) = \(0.\overline { 142857 }\) है। वास्तव में, लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता
सकते हैं कि के \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\) दशमलव प्रसार क्या हैं ? यदि हाँ तो कैसे ?
हल:
हाँ, हम बता सकते हैं

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है:
(i) \(0.\overline { 6 }\)
(ii) \(0.4\overline { 7 }\)
(ii) \(0.\overline { 001 }\).
हल:
(i) \(0.\overline { 6 }\) = 0.6666….. = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 6.6666…. . = 6 + 0.6666 ….. = 6 + x
⇒ 10x – x = 6 ⇒ 9x = 6 = x = \(\frac { 6 }{ 9 }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
अतः \(0.\overline { 6 }\) का अभीष्ट \(\frac { p }{ q }\) रूप = \(\frac { 2 }{ 3 }\).

(ii) \(0.4\overline { 7 }\) = 0.4777….. = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 4.7777….. = 4.3 + 0.4777 = 4.3 +x
⇒ \(10 x-x=4 \cdot 3 \Rightarrow 9 x=4 \cdot 3 \Rightarrow x=\frac{4 \cdot 3}{9}=\frac{43}{90}\)
अतः \(0.4\overline { 7 }\) का अभीष्ट p/q रूप = \(\frac { 43 }{ 90 }\).

(iii) \(0.\overline { 001 }\) = 0.001 001 001 ….. = x (मान लीजिए)
⇒ 1000x = 1.001 001 001 …. = 1 + 0.001001001 …. = 1 + x
⇒ 1000x – x = 1 ⇒ 999x = 1 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 999 }\)
अतः \(0.\overline { 001 }\) का अभीष्ट p/q रूप= \(\frac { 1 }{ 999 }\).

प्रश्न 4.
0.99999 ….. को plq के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से चकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल:
0.99999 …… = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 9.99999….. = 9 + 0.99999….. = 9 + x
⇒ 10x – x = 9 ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1
अतः 0.99999….. का अभीष्ट p/q रूप = 1.

प्रश्न 5.
\(\frac { 1 }{ 17 }\) के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावर्ती खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।
उत्तर:
सोलह (16) अर्थात् \(0.\overline { 0588235294117647 }\)
[निर्देश: विभाजन क्रिया छात्र स्वयं करें।]

प्रश्न 6.
p/q(q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए; जहाँ p और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं हैं और जिसका सात दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिए ?
उत्तर:
अभीष्ट उदाहरण है:
\(\frac { 3 }{ 5 }\) = 1.5, \(\frac { 5 }{ 4 }\) = 1.25, \(\frac { 4 }{ 5 }\) = 0.8, \(\frac { 3 }{ 25 }\) = 0.12, \(\frac { 7 }{ 10 }\) = 0.7, \(\frac { 11 }{ 110 }\) = 0.11 …..
हाँ, q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 की घात या 5 की घात अथवा दोनों की धातें होती हैं।

प्रश्न 7.
ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रकार अनवसानी अनावर्ती हों।
उत्तर:
0.01001000100001….., 0.202002000200002….., 0.003000300003….

प्रश्न 8.
परिमेय संख्याओं \(\frac { 5 }{ 9 }\) और \(\frac { 9 }{ 11 }\) के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि \(\frac { 5 }{ 9 }\) = \(0.\overline { 714285 }\) एवं \(\frac { 9 }{ 11 }\) = \(0.\overline { 81 }\)
इनके मध्य अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए अनवसानी अनावर्ती संख्याओं में से कोई तीन संख्याओं का चयन करना है।
अतः अभीष्ट संख्याएँ हैं
0.75075007500075….; 0.767076700767000767…. एवं 0.8080080008….

प्रश्न 9.
बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-कौन सी संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं :
(i) \(\sqrt { 23 }\)
(ii) \(\sqrt { 225 }\)
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478….
(v) 1.101001000100001….
उत्तर:
(i), (iv) एवं (v) अपरिमेय संख्याएँ हैं तथा (ii) एवं (iii) परिमेय संख्याएँ हैं।