In this post, we will share NCERT Class 10th Maths Book Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1. These solutions are based on new NCERT Syllabus.
NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1
प्रश्न 1.
बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3), (4, 1) (2019)
(ii) (-5, 7), (-1,3)
(iii) (a, b), (-a-b)
हल :
(i) मान लीजिए कि बिन्दु युग्म P (2, 3) एवं Q (4, 1) हैं।
अतः बिन्दु के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी = 2√2 मात्रक है।
(ii) मान लीजिए बिन्दु युग्म P (-5, 7) और Q (-1, 3) हैं।
अतः बिन्दुओं के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी = 4√2 मात्रक है।
(iii) मान लीजिए बिन्दु युग्म P (a, b) एवं Q(-a, -b) हैं।
अतः बिन्दुओं के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी \(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) मात्रक है।
प्रश्न 2.
बिन्दुओं (0,0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या आप अब अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल :
मान लीजिए P (0, 0) और Q (36, 15) दो बिन्दु हैं।
हाँ हम उन दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि शहरों के निर्देशांक A (0,0), B (36, 15), इसलिए दोनों शहरों के बीच की दूरी = 39 km
अतः दिए गए बिन्दुओं के बीच की दूरी 39 मात्रक एवं दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी 39 km है।
प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (-2, – 11) संरेखी हैं।
हल :
मान लीजिए दिए हुए बिन्दु P (1,5), Q (2,3) और R (-2, -11) हैं।
अतः दिए हुए बिन्दु सरेख नहीं हैं।
प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7,- 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
मान लीजिए A (5, -2), B (6, 4) एवं C (7,-2) हैं।।
अतः दिए हुए बिन्दु एक समाद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
इति सिद्धम्
प्रश्न 5.
किसी कक्षा में चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं (जैसा कि संलग्न आकृति 7.1 में दर्शाया गया है)। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर जाती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है कि “क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?” चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इसमें कौन सही है ?
हल :
संलग्न आकृति के अवलोकन से (ग्राफ द्वारा) A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) एवं D (6, 1).
चूँकि दूरी सूत्र
AB = BC = CD = DA = √18 …..(1)
⇒ ABCD एक समचतुर्भुज हैं। (चारों भुजाएँ बराबर)
⇒ विकर्ण AC = विकर्ण BD
चूँकि समान विकर्ण वाला समचतुर्भज वर्ग होता है।
अत: ABCD एक वर्ग है। इसलिए चम्पा सही है।
प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए :
(i) (-1,- 2,), (1,0), (-1, 2), (-3,0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल :
(i) चूँकि A (-1, – 2), B (1,0), C (-1, 2) एवं D (-3, 0) मान लीजिए
भुजाएँ AB = BC = CD = DA = √8
एव विकर्ण AC = BD = √16 = 4
अतः दिए हुए बिन्दुओं द्वारा बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग है क्योंकि दूसरी चारों भुजाएँ तथा विकर्ण बराबर हैं।
(ii) मान लीजिए A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), एवं D (-1, -4)
चूँकि दूरी सूत्र
चूँकि ∆ABC में BC + AC = √13 + √13 = 2 √13 = AB
अतः दिए हुए बिन्दुओं से कोई भी चतुर्भुज नहीं बनेगा।
(iii) मान लीजिए : A (4, 5), B (7,6), C (4, 3) एवं D (1, 2)
चूँकि दूरी सूत्र
चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। (समान्तर चतुर्भुज के प्रगुण)
अतः दिए हुए बिन्दुओं से बना चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए.जो (2,-5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित बिन्दु P (x, 0) है तथा दिए हुए बिन्दु Q (2,-5) एवं R (-2, 9) हैं।
तब प्रश्नानुसार : PQ = PR दिया है
(2 – x)² + (-5)² = (-2 – x)² + (9)² [दोनों ओर वर्ग करने पर]
4 – 4x + x² + 25 = 4 + 4x + x² + 81
4x + 4x = 4 + 25 – 4 – 81
8x = -56
x = \(\frac { -56 }{ 8 }\) = -7
अत: x-अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (-7,0) हैं।
प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु P (2, – 3) और Q (10, 9) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल :
चूँकि
⇒ (8)² + (y + 3)² = 100 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 64 + y² + 6y + 9 = 100
⇒ y² + 6y + 73 – 100 = 0
⇒ y² + 6y – 27 = 0
⇒ y² + 9y – 3y – 27 = 0
⇒ y (y + 9) – 3 (y + 9) = 0
⇒ (y + 9) (y – 3) = 0
या तो y + 9 = 0 ⇒ y = -9
अथवा y – 3 = 0 ⇒ y = +3
अतः y के अभीष्ट मान – 9 अथवा + 3 है।
प्रश्न 9.
यदि Q (0, 1) बिन्दु P (5, – 3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR एवं PR भी ज्ञात कीजिए।
हल :
∵प्रश्नानुसार QP = QR
अतः x का अभीष्ट मान ±4, QR = √41 एवं PR = √82 अथवा 9√2 है।
प्रश्न 10.
x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x,y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।
हल :
मान लीजिए P (x, y), Q (3, 6) एवं R (-3, 4) है तो प्रश्नानुसार PQ = PR
⇒ (x – 3)² + (y – 6)² = (x + 3)² + (y – 4)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ 6x + 6x + 12y – 8y + 25 – 45 = 0
⇒ 12x + 4y – 20 = 0
⇒ 3x + y – 5 = 0
अतः x एवं y का अभीष्ट सम्बन्ध है : 3x + y – 5 = 0 है।
