NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Examples and MCQs

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NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Examples and MCQs

NCERT Class 10th Maths Chapter 2 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

NCERT Class 10th Maths Chapter 2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रत्येक स्थिति के लिए द्विघात (वर्ग) बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग एवं गुणनफल क्रमशः निम्नांकित हैं। इन बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक भी ज्ञात कीजिए:
(i) – \(\frac { 8 }{ 3 } \)
(ii) \(\frac { 21 }{ 8 } \) , \(\frac { 5 }{ 16 } \)
(iii) -2\(\sqrt { 3 }\),-9
(iv) \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}},-\frac{1}{2}\)
हल:
(i) यहाँ शून्यकों का योग –\(\frac { 8 }{ 3 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 4 }{ 3 } \) है।
∵ चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (- \(\frac { 8 }{ 3 } \)) x + \(\frac { 4 }{ 3 } \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4)
अब \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 6x + 2x + 4)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) [3x (x + 2) + 2 (x + 2)] = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (x + 2) (3x + 2)
⇒ शून्यक क्रमश : -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट द्विधात बहुपद \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) एवं उसके शून्यक क्रमशः -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \) हैं।

(ii) यहाँ शून्यकों का योग \(\frac { 21 }{ 8 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 5 }{ 16 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac { 1 }{ 16 } \) (16x² – 42x+ 5) है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(\frac { 5 }{ 2 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 8 } \) हैं।

(iii) यहाँ शून्यकों का योग -2\(\sqrt { 3 }\) एवं गुणन -9 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (-2\(\sqrt { 3 }\)) x + (-9)
= x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9
अब x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 = x2 + 3 \(\sqrt { 3 }\) x – \(\sqrt { 3 }\) x – 9
= x (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (x + 3 \(\sqrt { 3 }\))
= (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) (x – \(\sqrt { 3 }\))
⇒ शून्यक क्रमशः-3\(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः -3 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

(iv) यहाँ शून्यकों का योग \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}}\) एवं गुणन –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac{1}{2 \sqrt{5}}\left(2 \sqrt{5} x^{2}+3 x-\sqrt{5}\right)\) है तथा इसके शून्यक क्रमशः
\(-\frac{\sqrt{5}}{2}\) एवं \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) हैं।

प्रश्न 2.
\(\sqrt { 2 }\) घन (त्रिघात) बहुपद 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4 \(\sqrt { 2 }\) का एक शून्यक है। इसके अन्य दो शून्यकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि \(\sqrt { 2 }\) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक शून्यक है इसलिए (x – \(\sqrt { 2 }\)) इस बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

⇒ 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4\(\sqrt { 2 }\) = (x – \(\sqrt { 2 }\)) (6x² + 7 \(\sqrt { 2 }\)x + 4)
अब 6x² + 7\(\sqrt { 2 }\) x + 4 = 6x² + 4\(\sqrt { 2 }\) x + 3\(\sqrt { 2 }\) x + 4
= 2x (3x + 2\(\sqrt { 2 }\)) + \(\sqrt { 2 }\) (3x + 2\(\sqrt { 2 }\))
= (3x + 2\(\sqrt { 2 }\) ) (2x + \(\sqrt { 2 }\))
⇒ अन्य शून्यक \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के अन्य दो अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) = हैं।

प्रश्न 3.
(x – \(\sqrt { 5 }\)) एक त्रिघात बहुपद x³ – 3 \(\sqrt { 5 }\) x² + 13x – 3\(\sqrt { 5 }\) का एक गुणनखण्ड दिया हुआ है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि (x – \(\sqrt { 5 }\)) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक गुणनखण्ड दिया है


अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के शून्यक क्रमशः \(\sqrt { 5 }\), (\(\sqrt { 5 }\) + \(\sqrt { 2 }\)) एवं (\(\sqrt { 5 }\)  – \(\sqrt { 2 }\)) हैं।

NCERT Class 10th Maths Chapter 2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक ज्ञात कीजिए एवं उनके तथा बहुपद के गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए :
(1) 4x² – 3x – 1
(2) 3x² + 4x – 4
(3) 5t² + 12t + 7
(4) t³ – 2t² – 15t
(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \) x + \(\frac { 3 }{ 4 } \)
(6) 4x² + 5 \(\sqrt { 2 }\) x – 3
(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\) ) s + \(\sqrt { 2 }\)
(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15
(9) y² + \(\frac { 3 }{ 2 } \) \(\sqrt { 5 }\) y – 5,
(10) 7y² – \(\frac { 11 }{ 3 } \) y – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
हल:
(1) 4x² – 3x – 1 = 4x² – 4x + x – 1
= 4x (x – 1)+ 1 (x – 1)
= (x – 1) (4x + 1)
जब x – 1 = 0 ⇒ x = 1 एवं जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक 1 एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(2) 3x² + 4x – 4 = 3x² + 6x – 2x – 4
= 3x (x + 2) -2 (x + 2)
= (x + 2) (3x – 2)
जब x + 2 = 0 ⇒ x = -2 एवं जब 3x – 2 = 0 ⇒ x = \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक – 2 एवं \(\frac { 2 }{ 3 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(3) 5t² + 12t + 7 = 5t² + 5t + 7t + 7
= 5t (t + 1) + 7 (t + 1)
= (t + 1) (5t + 7)
जब t + 1 = 0 ⇒ t = -1 एवं जब 5t + 7 = 0 ⇒ t = –\(\frac { 7 }{ 5 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक -1 एवं –\(\frac { 7 }{ 5 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(4) t³ – 2t² – 15t = t [t² – 2t – 15]
= t [t² – 5t + 3t – 15]
= t [t (t – 5) + 3 (t – 5)]
= t (t – 5) (t + 3)
t = 0, जब t – 5 = 0 ⇒ t = 5 और जब t + 3 = 0 ⇒ t = -3.
अतः, अभीष्ट शून्यक 0, 5 एवं -3 हैं।
यदि शून्यक α = 0, β = 5 एवं γ = – 3 मान हों तो

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \)x + \(\frac { 3 }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 14x + 3) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 12x + 2x + 3)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) [4x (2x + 3) + 1 (2x + 3)]
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) (2x + 3) (4x + 1)
जब 2x + 3 = 0 ⇒ x = \(\frac { -3 }{ 2 } \) और जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = \(\frac { -1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक –\(\frac { 3 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता हैं।

(6) 4x² + 5\(\sqrt { 2 }\) x – 3 = 4x² + 6\(\sqrt { 2 }\) x –\(\sqrt { 2 }\) x – 3
= 2\(\sqrt { 2 }\) x (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) – 1 (\(\sqrt { 2 }\)x + 3)
= (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) (2\(\sqrt { 2 }\) x – 1)

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\))s + \(\sqrt { 2 }\) = 2s² – s – 2\(\sqrt { 2 }\) s + \(\sqrt { 2 }\)
= s (2 s – 1) – \(\sqrt { 2 }\) (2 s – 1)
= (2 s – 1) (s – \(\sqrt { 2 }\))
जब 2s – 1 = 0 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं ज़ब s – \(\sqrt { 2 }\) = 0 ⇒ s = \(\sqrt { 2 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं \(\sqrt { 2 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15 = u² + 5\(\sqrt { 3 }\) u – \(\sqrt { 3 }\) u – 15
= u(u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (u + 5 \(\sqrt { 3 }\))
= (u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) (u – \(\sqrt { 3 }\))
जब u + 5 \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं जब u – \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(9)

अतः, अभीष्ट शून्यक – 2\(\sqrt { 5 }\) एवं \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(10)

जब 3y – 2 = 0 ⇒ y = \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं जब 7y + 1 = 0 ⇒ y = – \(\frac { 1 }{ 7 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 7 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

NCERT Class 10th Maths Chapter 2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए तथा पुष्टि कीजिए :
(i) 5 घातांक वाले x के बहुपद द्वारा x⁶ + 2x³ + x – 1 को विभाजित करने पर x2 – 1 भागफल हो सकता है, क्या?
(ii) क्या द्विघात बहुपद x² + kx + k के किसी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए बराबर शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं हो सकता क्योंकि यहाँ भागफल एवं भाजक के गुणनफल का घातांक भाज्य बहुपद के घातांक 6 से अधिक हो रहा है जो असम्भव है।
(ii) नहीं हो सकते, क्योंकि बराबर शून्यक के लिए k² – 4k = 0 ⇒ k(k -4) = 0 होना चाहिए, जहाँ या तो k = 0 अथवा k = 4 होगा जो विषम पूर्णांक k > 1 नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं अथवा असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) यदि किसी बहुपद ax² + bx + c के दोनों शून्यक धनात्मक तब a,b एवं c सभी के चिह्न समान होंगे।
(ii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे तो यह बहुपद द्विघात बहुपद नहीं हो सकता।
(iii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है तो यह जरूरी नहीं कि यह द्विघात बहुपद हो।
(iv) यदि किसी घन बहुपद के दो शून्यक शून्य हों तब इसमें कोई रेखीय एवं स्थिरांक पद नहीं होगा।
(v) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हों तो उसके सभी गुणांकों के चिन्ह समान होंगे।
(vi) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक धनात्मक हों तो a, b और c में से कम-से-कम एक तो ऋणात्मक होगा।
(vii) k का एक मात्र मान जिसके लिए द्विघात बहुपद kx² + x + k समान शून्यक रखता हो, \(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
उत्तर:
(i) कथन असत्य है, क्योंकि दोनों धनात्मक शून्यकों के लिए x का गुणांक b ऋणात्मक होगा।
(ii) कथन असत्य है, क्योंकि यदि द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक समान होंगे तो उसका ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा।
(iii) कथन सत्य है, क्योंकि यह त्रिघात बहुपद भी हो सकता है, यदि इसके दो शून्यक समान हों।
(iv) कथन सत्य है, क्योंकि वह त्रिधात (घन) बहुपद ar3 ± bx2 प्रकार का होगा।
(v) कथन सत्य है, क्योंकि यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β एवं γ हैं जो ऋणात्मक है तो α + β + γ = – \(\frac { b }{ a } \) ऋणात्मक होगा जब b एवं a दोनों के चिह्न समान हों।
αβ + βγ + γα = \(\frac { c }{ a } \) धनात्मक होगा जबकि c एवं a के चिन्ह समान हो तथा αβγ = \(\frac { -d }{ a } \)
ऋणात्मक होगा जबकि d एवं a के चिह्न समान हैं।
अतः a, b,c एवं d के चिह्न समान हों तभी सम्भव हैं।
(vi) कथन अ सत्य है, क्योंकि यहाँ a, b एवं c तीनों ऋणात्मक होंगे।
(vii) द्विघात बहुपद kx² + x + k के शून्यक समान होंगे यदि
(1)² – 4k² = 0 ⇒ k² = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ k = ± \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, कथन असत्य है क्योंकि k का मान \(\frac { 1 }{ 2 } \) या \(\frac { -1 }{ 2 } \) हो सकता है।

NCERT Class 10th Maths Chapter 2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

NCERT Class 10th Maths Chapter 2 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x² + kx + 1 का एक शून्यक -3 है तब k का मान होगा :
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(b) – \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(d) – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
उत्तर:
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -3 एवं 4 हैं होगा :
(a) x² – x + 12
(b) x² + x + 12
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)
(d) 2x² + 2x -24.
उत्तर:
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)

प्रश्न 3.
यदि किसी द्विघात बहुपद x² + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं -3 हों, तो :
(a) a = -7, b = – 1
(b) a = 5, b = -1
(c) a = 2, b = -6
(d) a = 0, b = – 6
उत्तर:
(d) a = 0, b = – 6

प्रश्न 4.
-2 एवं 5 शून्यक वाले बहुपदों की संख्या होगी :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 3 से अधिक
उत्तर:
(d) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
एक त्रिघात (घन) बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक शून्य (0) है, तो दो अन्य शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) –\(\frac { c }{ a } \)
(b) \(\frac { c }{ a } \)
(c) 0
(d) – \(\frac { b }{ a } \)
उत्तर:
(b) \(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 6.
यदि किसी त्रिघात (घन) बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 हो, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) b – a + 1
(b) b – a – 1
(c) a – b + 1
(d) a – b – 1
उत्तर:
(a) b – a + 1

प्रश्न 7.
एक द्विघात (वर्ग) बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक होंगे :
(a) दोनों धनात्मक
(b) दोनों ऋणात्मक
(c) एक धानात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक
(d) दोनों समान।
उत्तर:
(b) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग (द्विघात) बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 को शून्यक समान हों, तब
(a) c एवं a के चिह्न विपरीत होंगें
(b) c एवं b के चिह्न विपरीत होंगे
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे
(d) c एवं b के चिह्न समान होंगें।
उत्तर:
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा: (2019)
(a) c/a
(b) a/c
(c) -c/a
(d) -a/c
उत्तर:
(a) c/a

प्रश्न 10.
बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे: (2019)
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)
(b) ± 3
(c) 3
(d) 9
उत्तर:
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. (x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे …………………… एवं ……………………।
2. दो बहुपद का योग …………………… होता है।
3. ar² + bx + c एक …………………… बहुपद का उदाहरण है।
4. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है …………………… कहलाता
5. रैखिक बहुपद के अधिकतम …………………… शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर:

1. 1,2
2. एक बहुपद
3. द्विघात
4. शून्यक
5. एक।

जोडी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
\(\sqrt { x }\) + 2 एक बहुपद है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0.
उत्तर:
सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
उत्तर:
एक

प्रश्न 2.
p (x) = g (x) × q (x) + r (x) यह निष्कर्ष क्या कहलाता है?
उत्तर:
विभाजन एल्गोरिथ्म

प्रश्न 3.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α + β का मान क्या होगा?
उत्तर:
– \(\frac { b }{ a } \)

प्रश्न 4.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α.β का मान क्या होगा?
उत्तर:
\(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
तीन।