In this post, we will share NCERT Class 10th Maths Book Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1. These solutions are based on new NCERT Syllabus.
NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ………. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………… है। ऐसी घटना ……….. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है …………. है। ऐसी घटना …………. कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं का योग ………… है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता …………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा …………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) 1 (एक),
(ii) 0 (शून्य), असम्भव घटना
(iii) 1 (एक), अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1 (एक),
(v) 0 (शून्य), 1 (एक)।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं। स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।
हल :
प्रयोग (iii) एवं (iv) के परिणाम सम्प्रायिक या समसम्भावी होंगे, क्योंकि इनकी समान सम्भावनाएँ होंगी।
प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय, यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्याय संगत विधि क्यों माना जाता है?
हल :
जब हम सिक्का उछालते हैं तो चित या पट् आने का परिणाम समसम्भावी है। इसलिए यह विधि न्याय संगत है।
प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) \(\frac { 2 }{ 3 }\)
(b) – 1.5
(c) 15%
(d) 0.7.
हल :
(b)- 1.5, क्योंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक अर्थात् शून्य से कम नहीं हो सकती है।
प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता क्या है? (2019)
हल:
\(P(\overline{E})\) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95
जहाँ \(P(\overline{E})\) ‘E नहीं’ की प्रायिकता है।
प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गयी गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है,
(ii) नीबू की महक वाली है।
हल :
(i) प्रायिकता 0 (शून्य) होगी, क्योंकि थैले में सन्तरे की महक वाली एक भी गोली नहीं है।
(ii) प्रायिकता 1 (एक) होगी, क्योंकि थैले में सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।
प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन दो विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हों?
हल :
मान लीजिए दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की घटना E और एक ही दिन नहीं होने की घटना \((\overline{E})\) है, तो
चूँकि P(E) = 1 – \(P(\overline{E})\)
P(E) = 1 – 0.992 [\(P(\overline{E})\) = 0.992 (दिया है)]
= 0.008
अतः, दोनों विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की अभीष्ट प्रायिकता = 0.008 है।
प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या S = 3 + 5 = 8
अर्थात् प्रयोग के सभी सम्भावित परिणामों की संख्या S = 8
लाल गेंद होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
(ii) लाल गेंद नहीं होने की प्रायिकता
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 5 }{ 8 }\) हैं।
प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या (S) = 17
(i) लाल कंचा होने के अनुकूल परिणाम
(ii) सफेद कंचा होने के अनुकूल परिणाम
(iii) हरा कंचा होने के अनुकूल परिणाम \(n\left(E_{G}\right)=4\).
हरा कंचा न होने का परिणाम \(n\left(\overline{E}_{G}\right)=17-4=13\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 17 }\), (ii) \(\frac { 8 }{ 17 }\) और (iii) \(\frac { 13 }{ 17 }\) हैं।
प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, Rs 1 के 50 सिक्के, Rs 2 के 20 सिक्के और Rs 5 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होना?
(ii) Rs 5 का नहीं होगा।
हल :
मान लीजिए
n(E1) = Rs 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
n(E2) = Rs 1 के सिक्कों की संख्या = 50
n(E3) = Rs 2 के सिक्कों की संख्या = 20
n(E4) = Rs 5 के सिक्कों की संख्या = 10
कुल सिक्कों की संख्या n(S) = n(E1) + n(E2) + n(E3) + n(E4)
n(S) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180.
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 9 }\) एवं (ii) \(\frac { 17 }{ 18 }\) हैं।
प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछलियाँ एवं 8 मादा मछलियाँ है, में से एक मछली यादृच्छिक उसे देने के लिए निकालती है (देखिए संलग्न आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गयी मछली नर मछली है।
हल :
कुल मछलियाँ की संख्या n(S) = 5 + 8 = 13.
n(E) = नर मछलियों की संख्या = 5
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{13}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 13 }\) हैं।
प्रश्न 12.
संयोग (Chance) के एक खेल में एक तीर घुमाया जाता है जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?
हल :
चूँकि सभी सम्भावित परिणाम S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 एवं 8 हैं
n(S) = 8 है।
(i) n(E1) = 1 आठ का अंक
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{1}{8}\)
(ii) विषम संख्याएँ हैं : E2 = 1, 3, 5, 7
n(E2) = 4
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
(iii) दो से बड़ी संख्याएँ हैं : E3 = 3, 4, 5, 6, 7 और 8.
n(E3) = 6
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
(iv) 9 से छोटी संख्याएँ हैं : E4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8
n(E4) = 8
\(P(E)_{4}=\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{8}{8}=1\)
अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (iii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) एवं (iv) 1 हैं।
प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या।
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या।
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ हैं E1 = 2, 3, 5
n(E1) = 3
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) 2 और 6 के बीच संख्याएँ : E2 = 3, 4, 5
n(E2) = 3
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(iii) विषम संख्याएँ हैं : E3 = 1, 3, 5
n(E3) = 3
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।
प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) लाल रंग का बादशाह।
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता।
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता।
(iv) पान का गुलाम।
(v) हुकुम का पत्ता।
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल :
∵ ‘सभी पत्तों की संख्या n(S) = 52
(i) लाल रंग के बादशाहों की संख्या, n(E1) = 2.
(ii) तस्वीर वाले पत्तों (फेस कार्डों) की संख्या, n(E2) = 12
(iii) लाल रंग की तस्वीर वाले पत्तों की संख्या, n(E3) = 6
(iv) पान के गुलाम की संख्या, n(E4) = 1
(v) हुकुम के पत्तों की संख्या, n(E5) = 13
(vi) एक ईंट की बेगम n(E6) = 1
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :
हैं।
प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलटकर खूब फेंट दिया जाता है। फिर इनमें से पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
(i) चूँकि
(ii) बेगम निकालकर रख दी जाती है तो n(S2) = 4.
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\), (ii) (a) \(\frac { 1 }{ 4 }\) (b) 0 हैं।
प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिलाए गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल परिणामों की संख्या n(S) = 12 + 132 = 144
अच्छे पेनों की संख्या n(E) = 132
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 11 }{ 12 }\) है।
प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायकिता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
(i) n(S1) = 20 एवं n(E1) = 4
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n\left(S_{1}\right)}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
(ii) n(S2) = 20 – 1 = 19 कुल बल्बों की संख्या
खराब बल्बों की संख्या = 4
जो बल्ब खराब नहीं हैं उनकी संख्या = 19 – 4 = 15 बल्ब
n(E2) = 15
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n\left(S_{2}\right)}=\frac{15}{19}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\) एवं (ii) \(\frac { 15 }{ 19 }\) हैं।
प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 9 संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी,
(i) दो अंकों की संख्या,
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या,
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या?
हल :
कुल सम्भावित घटनाएँ = कुल संख्याएँ, n(S) = 90.
(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 एवं 9 इन 9 (नौ) संख्याओं को छोड़कर शेष सभी संख्याएँ 2 अंकों की होंगी।
n(E1) = 90 – 9 = 81
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)
(ii) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ये 9 (नौ) संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं।
n(E2) = 9.
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)
(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं-5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 एवं 90.
अर्थात् ये 18 संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं-n(E3) = 18
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 9 }{ 10 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 10 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 5 }\) हैं।
प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है, जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल:
कुल सम्भावित घटनाएँ n(S) = 6
(i) A के अनुकूल घटनाएँ n(E1) = 2 [∴ A दो बार आया है।]
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
(ii) ∵ \(n\left(E_{2}\right)=1 \Rightarrow P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{1}{6}\).
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 3 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 6 }\) हैं।
प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को संलग्न आकृति में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?
हल :
आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = 3 x 2 = 6 m²
अर्थात् कुल सम्भावनाओं का क्षेत्रफल, n(S) = 6 m²
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\) हैं।
प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे, जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप पेन खरीदेंगे?
(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे?
हल:
कुल पेनों की संख्या n(S) = 144.
खरीदे जा सकने वाले अच्छे पेनों की संख्या, n(E) = 144 – 20 = 124.
खरीदे नहीं जा सकने वाले खराब पेनों की संख्या, \(n(\overline{E})\) = 20
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 31 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 5 }{ 36 }\)
प्रश्न 22.
उदाहरण 13 को देखिए
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :
(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 एवं 12 हैं। अतः प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 11 }\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
(i) दी हुई अपूर्ण सारणी को पूर्ण करना :
(ii) हम सहमत नहीं हैं क्योंकि ये 11 परिणाम समसम्भावी नहीं हैं।
प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर हनीफ खेल जीत जायेगा, अन्यथा हार जायेगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकल्पित कीजिए।
हल :
कुल सम्भव परिणाम होंगे : (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT)
⇒ n(S) = 8.
यहाँ HTT का अर्थ पहले उछाल में चित, दूसरे में पट और तीसरे में पट घटने वाली घटनाएँ हैं-HHT, HTH, THH, TTH, THT एवं HTT ⇒ n(E) = 6.
अत: घटने की प्रायिकता \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) है।
प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि
(i) 5 किसी भी बार नहीं आयेगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आयेगा?
हल :
एक पासे को दो बार फेंकना अर्थात् दो पासों को एक साथ फेंकना समान प्रयोग है अतः कुल सम्भावनाएँ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2,5), (2,6), (3, 1), (3, 2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4,4), (4, 5), (4,6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6, 6).
कुल सम्भावनाएँ = n(S) = 36.
(i) 5 एक भी बार न आने की घटना n(E1) = 25
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{25}{36}\)
(ii) n(E2) = n(S) – n(E1) = 36-25 = 11
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{11}{36}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 25 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 11 }{ 36 }\)
प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।
हल :
(i) यह कथन सत्य नहीं है, क्योंकि हम इस प्रकार वर्गीकृत तो कर सकते हैं लेकिन ये सम-सम्भावी नहीं हैं। क्योंकि तीसरे केस में पहले पर चित और दूसरे पर पट तथा पहले पर पट और दूसरे पर चित ये दो अलग घटनाएँ हैं। इस प्रकार चार सम्भावनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार परिणामों की प्रायिकता \(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\) एवं \(\frac { 1 }{ 2 }\), होती है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-सम्भावी हैं।
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NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ………. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………… है। ऐसी घटना ……….. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है …………. है। ऐसी घटना …………. कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं का योग ………… है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता …………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा …………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) 1 (एक),
(ii) 0 (शून्य), असम्भव घटना
(iii) 1 (एक), अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1 (एक),
(v) 0 (शून्य), 1 (एक)।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं। स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।
हल :
प्रयोग (iii) एवं (iv) के परिणाम सम्प्रायिक या समसम्भावी होंगे, क्योंकि इनकी समान सम्भावनाएँ होंगी।
प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय, यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्याय संगत विधि क्यों माना जाता है?
हल :
जब हम सिक्का उछालते हैं तो चित या पट् आने का परिणाम समसम्भावी है। इसलिए यह विधि न्याय संगत है।
प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) \(\frac { 2 }{ 3 }\)
(b) – 1.5
(c) 15%
(d) 0.7.
हल :
(b)- 1.5, क्योंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक अर्थात् शून्य से कम नहीं हो सकती है।
प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता क्या है? (2019)
हल:
\(P(\overline{E})\) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95
जहाँ \(P(\overline{E})\) ‘E नहीं’ की प्रायिकता है।
प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गयी गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है,
(ii) नीबू की महक वाली है।
हल :
(i) प्रायिकता 0 (शून्य) होगी, क्योंकि थैले में सन्तरे की महक वाली एक भी गोली नहीं है।
(ii) प्रायिकता 1 (एक) होगी, क्योंकि थैले में सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।
प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन दो विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हों?
हल :
मान लीजिए दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की घटना E और एक ही दिन नहीं होने की घटना \((\overline{E})\) है, तो
चूँकि P(E) = 1 – \(P(\overline{E})\)
P(E) = 1 – 0.992 [\(P(\overline{E})\) = 0.992 (दिया है)]
= 0.008
अतः, दोनों विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की अभीष्ट प्रायिकता = 0.008 है।
प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या S = 3 + 5 = 8
अर्थात् प्रयोग के सभी सम्भावित परिणामों की संख्या S = 8
लाल गेंद होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
(ii) लाल गेंद नहीं होने की प्रायिकता
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 5 }{ 8 }\) हैं।
प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या (S) = 17
(i) लाल कंचा होने के अनुकूल परिणाम
(ii) सफेद कंचा होने के अनुकूल परिणाम
(iii) हरा कंचा होने के अनुकूल परिणाम \(n\left(E_{G}\right)=4\).
हरा कंचा न होने का परिणाम \(n\left(\overline{E}_{G}\right)=17-4=13\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 17 }\), (ii) \(\frac { 8 }{ 17 }\) और (iii) \(\frac { 13 }{ 17 }\) हैं।
प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, Rs 1 के 50 सिक्के, Rs 2 के 20 सिक्के और Rs 5 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होना?
(ii) Rs 5 का नहीं होगा।
हल :
मान लीजिए
n(E1) = Rs 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
n(E2) = Rs 1 के सिक्कों की संख्या = 50
n(E3) = Rs 2 के सिक्कों की संख्या = 20
n(E4) = Rs 5 के सिक्कों की संख्या = 10
कुल सिक्कों की संख्या n(S) = n(E1) + n(E2) + n(E3) + n(E4)
n(S) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180.
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 9 }\) एवं (ii) \(\frac { 17 }{ 18 }\) हैं।
प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछलियाँ एवं 8 मादा मछलियाँ है, में से एक मछली यादृच्छिक उसे देने के लिए निकालती है (देखिए संलग्न आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गयी मछली नर मछली है।
हल :
कुल मछलियाँ की संख्या n(S) = 5 + 8 = 13.
n(E) = नर मछलियों की संख्या = 5
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{13}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 13 }\) हैं।
प्रश्न 12.
संयोग (Chance) के एक खेल में एक तीर घुमाया जाता है जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?
हल :
चूँकि सभी सम्भावित परिणाम S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 एवं 8 हैं
n(S) = 8 है।
(i) n(E1) = 1 आठ का अंक
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{1}{8}\)
(ii) विषम संख्याएँ हैं : E2 = 1, 3, 5, 7
n(E2) = 4
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
(iii) दो से बड़ी संख्याएँ हैं : E3 = 3, 4, 5, 6, 7 और 8.
n(E3) = 6
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
(iv) 9 से छोटी संख्याएँ हैं : E4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8
n(E4) = 8
\(P(E)_{4}=\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{8}{8}=1\)
अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (iii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) एवं (iv) 1 हैं।
प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या।
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या।
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ हैं E1 = 2, 3, 5
n(E1) = 3
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) 2 और 6 के बीच संख्याएँ : E2 = 3, 4, 5
n(E2) = 3
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(iii) विषम संख्याएँ हैं : E3 = 1, 3, 5
n(E3) = 3
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।
प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) लाल रंग का बादशाह।
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता।
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता।
(iv) पान का गुलाम।
(v) हुकुम का पत्ता।
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल :
∵ ‘सभी पत्तों की संख्या n(S) = 52
(i) लाल रंग के बादशाहों की संख्या, n(E1) = 2.
(ii) तस्वीर वाले पत्तों (फेस कार्डों) की संख्या, n(E2) = 12
(iii) लाल रंग की तस्वीर वाले पत्तों की संख्या, n(E3) = 6
(iv) पान के गुलाम की संख्या, n(E4) = 1
(v) हुकुम के पत्तों की संख्या, n(E5) = 13
(vi) एक ईंट की बेगम n(E6) = 1
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :
हैं।
प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलटकर खूब फेंट दिया जाता है। फिर इनमें से पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
(i) चूँकि
(ii) बेगम निकालकर रख दी जाती है तो n(S2) = 4.
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\), (ii) (a) \(\frac { 1 }{ 4 }\) (b) 0 हैं।
प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिलाए गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल परिणामों की संख्या n(S) = 12 + 132 = 144
अच्छे पेनों की संख्या n(E) = 132
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 11 }{ 12 }\) है।
प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायकिता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
(i) n(S1) = 20 एवं n(E1) = 4
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n\left(S_{1}\right)}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
(ii) n(S2) = 20 – 1 = 19 कुल बल्बों की संख्या
खराब बल्बों की संख्या = 4
जो बल्ब खराब नहीं हैं उनकी संख्या = 19 – 4 = 15 बल्ब
n(E2) = 15
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n\left(S_{2}\right)}=\frac{15}{19}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\) एवं (ii) \(\frac { 15 }{ 19 }\) हैं।
प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 9 संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी,
(i) दो अंकों की संख्या,
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या,
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या?
हल :
कुल सम्भावित घटनाएँ = कुल संख्याएँ, n(S) = 90.
(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 एवं 9 इन 9 (नौ) संख्याओं को छोड़कर शेष सभी संख्याएँ 2 अंकों की होंगी।
n(E1) = 90 – 9 = 81
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)
(ii) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ये 9 (नौ) संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं।
n(E2) = 9.
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)
(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं-5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 एवं 90.
अर्थात् ये 18 संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं-n(E3) = 18
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 9 }{ 10 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 10 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 5 }\) हैं।
प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है, जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल:
कुल सम्भावित घटनाएँ n(S) = 6
(i) A के अनुकूल घटनाएँ n(E1) = 2 [∴ A दो बार आया है।]
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
(ii) ∵ \(n\left(E_{2}\right)=1 \Rightarrow P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{1}{6}\).
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 3 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 6 }\) हैं।
प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को संलग्न आकृति में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?
हल :
आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = 3 x 2 = 6 m²
अर्थात् कुल सम्भावनाओं का क्षेत्रफल, n(S) = 6 m²
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\) हैं।
प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे, जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप पेन खरीदेंगे?
(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे?
हल:
कुल पेनों की संख्या n(S) = 144.
खरीदे जा सकने वाले अच्छे पेनों की संख्या, n(E) = 144 – 20 = 124.
खरीदे नहीं जा सकने वाले खराब पेनों की संख्या, \(n(\overline{E})\) = 20
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 31 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 5 }{ 36 }\)
प्रश्न 22.
उदाहरण 13 को देखिए
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :
(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 एवं 12 हैं। अतः प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 11 }\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
(i) दी हुई अपूर्ण सारणी को पूर्ण करना :
(ii) हम सहमत नहीं हैं क्योंकि ये 11 परिणाम समसम्भावी नहीं हैं।
प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर हनीफ खेल जीत जायेगा, अन्यथा हार जायेगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकल्पित कीजिए।
हल :
कुल सम्भव परिणाम होंगे : (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT)
⇒ n(S) = 8.
यहाँ HTT का अर्थ पहले उछाल में चित, दूसरे में पट और तीसरे में पट घटने वाली घटनाएँ हैं-HHT, HTH, THH, TTH, THT एवं HTT ⇒ n(E) = 6.
अत: घटने की प्रायिकता \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) है।
प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि
(i) 5 किसी भी बार नहीं आयेगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आयेगा?
हल :
एक पासे को दो बार फेंकना अर्थात् दो पासों को एक साथ फेंकना समान प्रयोग है अतः कुल सम्भावनाएँ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2,5), (2,6), (3, 1), (3, 2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4,4), (4, 5), (4,6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6, 6).
कुल सम्भावनाएँ = n(S) = 36.
(i) 5 एक भी बार न आने की घटना n(E1) = 25
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{25}{36}\)
(ii) n(E2) = n(S) – n(E1) = 36-25 = 11
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{11}{36}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 25 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 11 }{ 36 }\)
प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।
हल :
(i) यह कथन सत्य नहीं है, क्योंकि हम इस प्रकार वर्गीकृत तो कर सकते हैं लेकिन ये सम-सम्भावी नहीं हैं। क्योंकि तीसरे केस में पहले पर चित और दूसरे पर पट तथा पहले पर पट और दूसरे पर चित ये दो अलग घटनाएँ हैं। इस प्रकार चार सम्भावनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार परिणामों की प्रायिकता \(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\) एवं \(\frac { 1 }{ 2 }\), होती है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-सम्भावी हैं।
