NCERT Class 9th Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5
यहाँ NCERT Class 9th Maths Chapter 2 Ex 2.5 का समाधान आसान तरीके से बताया गया है ताकि आप सारे सवाल बेहद सरल तरीके से बना सकें
प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x +4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (y2 + \(\frac { 3 }{ 2 }\) ) ( y2 – \(\frac { 3 }{ 2 }\))
(v) (3 – 2x) (3 + 2x).
हल:
(i) चूँकि (x+ a) (x + b) = x2 + (b + a)x + ab (सर्वसमिका)
⇒ (x +4) (x + 10) = x2+ (10 + 4) x + (4) (10)
= x2 + 14x + 40
अतः अभीष्ट गुणनफल = x2 + 14x + 40.
(ii) चूँकि (x + a) (x – b) = x2 + (a- b)x – (a) (b) (सर्वसमिका)
⇒ (x + 8)(x – 10) = x2 + (8 – 10)x – (8) (10)
= x2 – 2x – 80
अतः अभीष्ट गुणनफल =x2 – 2x -80.
(iii) चूँकि (a + b) (a – c) = (a)2 + (b – c) (a) – (b)(c) (सर्वसमिका)
⇒ (3x+ 4) (3x – 5) = (3x)2 + (4 – 5) (3x) – (4)(5)
= 9x2 – 3x – 20
अतः अभीष्ट गुणनफल = 9x2 – 3x – 20.
(iv) चूँकि (a + b) (a – b) = a2 – b2 (सर्वसमिका)
(v) चूँकि (a – b) (a + b) = a2 – b2 (सर्वसमिका)
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)2 – (2x)2
= 9 – 4x2
अतः अभीष्ट गुणनफल = 9 – 4x2.
प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 x 107
(ii) 95 x 96
(iii) 104 x 96
हल:
(i) चूँकि (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab (सर्वसमिका)
यदि x = 100, a = 3 एवं b = 7 हो, तो
(100 + 3) (100 + 7) = (100)2 + (3 + 7) (100) + (3) (7)
⇒ (103) (107) = 10000 + 1000 + 21 = 11021
अतः अभीष्ट गुणनफल = 11021.
(ii) चूँकि (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab (सर्वसमिका)
अब x = 100, a = – 5, b = – 4 रखने पर,
⇒ (100 – 5) (100 – 4) = (100)2 + (-5 – 4) (100) + (-5) (-4)
⇒ 95 x 96 = 10000 – 900 + 20
⇒ 95 x 96 = 9120
अतः अभीष्ट गुणनफन = 9120.
(iii) चूँकि (a + b) (a – b) = a – b2 (सर्वसमिका)
अब a = 100, b = 4 रखने पर,
⇒ (100 + 4) (100 – 4) = (100)2 – (4)2
⇒ 104 x 96 = 10000 – 16
⇒ 104 x 96 = 9984
अतः अभीष्ट गुणनफल = 9984.
प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के गुणनखण्डन कीजिए :
(i) 9x2 + 6xy + ya
(ii) 4y2 – 4y + 1
(iii) x2 – 100
हल:
(i) चूँकि a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
अब a = 3x एवं b = y रखने पर,
⇒ (3x)2 + 2 (3x) (y) + (y)2 = (3x + y)2
⇒ 9x2 + 6xy + y2 = (3x + y)2
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3x + y)2.
(ii) चूँकि (a)2 – 2ab + (b)2 = (a – b)2
अब a= 2y एवं b = 1 रखने पर,
⇒ (2y)2 – 2 (2y) (1) + (1)2 = (2y – 1)2
⇒ 4y4 – 4y + 1 = (2y – 1)2
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (2y – 1)2
(iii) चूँकि a2 – b2 = (a – b) (a + b)
अब a = x एवं b = y/10 रखने पर,
प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (x + 2y + 4z)2
(ii) (2x – y + z)2
(iii) (-2x + 3y + 2z)2
(iv) (3a – 7b – c)2
(v) (-2x + 5y – 3z)2
(vi) [ \(\frac { 1 }{ 4 }\)a – \(\frac { 1 }{ 2 }\)b + 1]2
(i) ∵ सर्वसमिका : (p + q + r)2 = p2 + q2 + r2 +1 (pq + qr + rp)
अब p =x, q= 2y एवं r = 4z रखने पर प्राप्त होता है :
(x + 2y + 4z)2 = (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 [(x)(2y) + (2y)(4z) + (4z)(x)]
= x2 + 4y2 + 16z2 + 2(2xy + 8yz + 4zx)
= x2 + 4y2+ 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx.
अतः अभीष्ट प्रसार = x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8 zx.
(ii) ∵ सर्वसमिका : (p + q + r)2 = p2 + q2 + r2 + 2 (pq + qr + rp)
अब p = 2x, q = -y एवं r = z रखने पर प्राप्त होता है :
(2x – y + z)2 = (2x)2 + (-y)2 + (z)2 + 2 [(2x)(-y) + (-y)(z) + (z)(2x)]
= 4x2 + y2 + z2 + 2 (- 2xy – 2yz + 2zx)
= 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4zx
अतः अभीष्ट प्रसार 4x2 +y2 + z2– 4xy – 2yz + 4zx.
(iii) ∵ सर्वसमिका : (p + q + r)2 = p2 + q2 + r2 + 1 (pq + qr + rp)
अब p = – 2x, q = 3y एवं r = 2z रखने पर प्राप्त होता है :
(- 2x + 3y + 2z)2 = (- 2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2 [(- 2x)(3y) + (3y)(2z) + (2z)(- 2x)]
(- 2x + 3y + 2z)2 = 4x2 + 9y2 + 4z2 + 2 (- 6xy + 6yz – 4zx)
= 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8zx
अतः अभीष्ट प्रसार = 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8zx.
(iv) ∵ सर्वसमिका : (p + q + r)2 = p2 + q2 + r2 + 2 (pq + qr + rp)
अब p = 3a, q = – 7b एवं r = – c रखने पर प्राप्त होता है।
(3a – 7b – c)2 = (3a)2 + (- 7b)2 + (- c)2 + 2 [(3a(- 7b) + (- 7b)(- c) + (- c)(3a)]
= 9a2 + 49 b2 + c2 + 2 (- 21ab + 7bc – 3ca)
= 9a2 + 49 b2 + c2 – 42ab + 146c – 6ca
अतः अभीष्ट प्रसार = 9a2 + 49 b2 + c2 – 42ab + 14be – 6ca.
(v) ∵ सर्वसमिका : (p + q + r)2 = p2 + q2 + r2 + 2 (pq + qr + rp)
अब p = – 2x, q = 5y एवं r = – 3z रखने पर प्राप्त होता है:
(- 2x + 5y – 3z) = (- 2x)2 + (5y)2 + (- 3z)2 + 2 [(- 2x)(5y) + (5y)(- 3z) + (- 3z) x (- 2x)]
= 4x2 + 25y2 + 9z2 + 2 (- 10xy – 15yz + 6zx)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx
अतः अभीष्ट प्रसार = 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx.
(vi) ∵ सर्वसमिका : (p + q + r)2 = p2 + q2 + r2 + 2 (pq + qr + rp)
अब p = \(\frac { 1 }{ 4 }\), q = –\(\frac { 1 }{ 2 }\) एवं r = 1 रखने पर प्राप्त होता है :
प्रश्न 5.
गणनखण्ड कीजिए :
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz (2018)
(ii) 2x2 + y2 + 8z2 – 2 √2 xy + 4√2 yz – 8xz.
हल:
(i) चूँकि दिए गए बहुपद में yz एवं zx के गुणांक ऋणात्मक हैं जिनमें उभयनिष्ठ है, अतः z का गुणांक ऋणात्मक होगा।
अब 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24xz – 16xz
= (2x)2 + (3y)2 + (- 4z)2 + 2 (2x) (3y) + 2 (3y)(- 4z) + 2 (- 4z)(2x)
= (2x + 3y – 4z)2 [ ∵ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 सर्वसमिका]
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड = (2x + 3y – 4z)2 .
(ii) चूँकि दिए हुए बहुपद में xy एवं xz के गुणांक ऋणात्मक है जिनमें x उभयनिष्ठ है अतः x का गुणांक ऋणात्मक होगा।
अब
2x2 + y2 + 8z2 – 2√2 xy + 4√2 yz – 8 xz
= ( -√2x)2 + (y)2 + (2√2z)2 + 2(-√2x)(y) + 2(y)(2√2z) + 2(2√2z)(- √2x)
= ( -√2x + y + (2√2z)2 [∵ a2 + b2 + c2 + 2a + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 सर्वसमिका]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (-√2 x + y + 2√2z)2
प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)3
(i) (2a – 3b)3
(ii) (\(\frac { 3 }{ 2 }\)x + 1)3
(iv) (x – \(\frac { 2 }{ 3 }\)y )3
हल:
(i) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
अब p = 2x एवं q = 1 रखने पर प्राप्त होता है :
(2x + 1)3 = (2x)3 + 3 (2x)2 (1) + 3 (2x) (1)2 + (1)3
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1
अतः अभीष्ट प्रसार = 8x3 + 12x2 + 6x + 1.
(ii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
अब p = 2a एवं q = -3b रखने पर प्राप्त होता है :
(2a – 3b)3 = (2a)3 + 3(2a)2(- 3b) + 3(2a)(- 3b)2 + (- 3b)3
= 8a3 – 36a2b + 54 ab2 – 21b3
अतः अभीष्ट प्रसार = 8a3 – 36a2b + 54 ab2 – 21b3
(iii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
अब p = \(\frac { 3 }{ 2 }\) एवं q = 1 रखने पर प्राप्त होता है :
(iv) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
अब p = x एवं q = –\(\frac { 2 }{ 3 }\)y रखने पर प्राप्त होता है।
प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)3
(ii) (102)3
(iii) (998)3.
हल:
(i) चूँकि सर्वसमिका = (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
अब p = 100 एवं q = – 1 रखने पर प्राप्त होता है :
(100 – 1)3 = (100)3 + 3(100)2 (- 1) + 3(100)(- 1)2 + (-1)3
⇒ (99)3 = 1000000 – 30000 + 300 – 1
= 1000300 – 30001 = 970299
अतः अभीष्ट मान = 970299.
(ii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
अब p = 100 एवं q = 2 रखने पर प्राप्त होता है :
(100 + 2)3 = (100)3 + 3(100)2(2) + 3(100)(2)2 + (2)3
⇒ (102)3 = 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208
अतः अभीष्ट मान = 1061208.
(iii) चूँकि सर्वसमिका : (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
अब p = 1000 एवं q = – 2 रखने पर प्राप्त होता है :
(1000 – 2)3 = (1000)3 + 3(1000)2(- 2) + 3(1000)(- 2)2 + (- 2)3
⇒ (998)3 = 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992
अतः अभीष्ट मान = 994011992.
प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 8a3 + b3 + 12 a2A + 6ab2
(ii) 8a3 – b3 – 12a2A + 6ab2
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
(v) \( 27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p\)
हल :
(i) 8a3 + b3 + 12a2 b + 6ab2 = (2a)3 + (b)3 + 3(2a)2 (b) + 3(2a)(b)2
= (2a + b)3 [∵ p3 + q3 + 3p2q + 3pq2 = (p + q)3]
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड = (2a + b)3.
(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
= (2a)3 + (- b)3 + 3(2 a)2(- b) + 3(2 a)(- b)2
= (2a – b)3 [∵ p3 + q3 + 3p2q + 3pq2 = (p + q)3]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (2a – b)3
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2 = (3)3 + (- 5a)3 + 3(3)2 (- 5a) + 3(3) (- 5a)2
= (3 – 5a)3 [ ∵ p3 + q3 + 3p2q + 3pq2 = (p + q)3 सर्वसमिका]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (3 – 5a)3
(iv) 64a3 – 21b3 – 144a2b + 108 ab2
= (4a)3 + (- 3b)3 + 3(4a)2 (- 3b) + 3(4a)(- 3b)2
= (4a – 3b)3 [ ∵ p3 + q3 + 3p2q + 3pq2 = (p + q)3 सर्वसमिका]
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (4a – 3b)3.
(v) \( 27 p^{3}-\frac{1}{216}-\frac{9}{2} p^{2}+\frac{1}{4} p\)
प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए कि :
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
(ii) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy +y2)
हल:
(i) हम जानते हैं कि (x + y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 = x3 +y3 + 3xy (x +y)(सर्वसमिका)
⇒ x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
= (x + y) [(x + y)2 – 3xy]
= (x + y) [x2 + 2xy + y2 – 3xy]
⇒ x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) इति सिद्धम्
(ii) हम जानते हैं कि (x – y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 = x3 +y3 + 3xy (x +y)(सर्वसमिका)
x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)
= (x – y)[(x – y)2 + 3xy]
= (x – y) [x2 – 2xy + y2 + 3xy]
⇒ x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2). इति सिद्धम्
प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्ड कीजिए :
(i) 27 y3 + 125z3
(ii) 64m3 – 343n3.
हल:
(i) 27y3 + 125z3
= (3y)3 + (5z)3
= (3y + 5z) [(3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2] (∵ p3 + q3 = (p + q) {p2-pq + q2)
= (3y + 5z) (9y2 – 15yz + 25z2)
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड = (3y + 5z) (9y2 – 15yz + 25z2).
(ii) 64m3 – 343n2 = (4m)3 – (7n)3
= (4m – 7n) [(4m)2 + (4m) (7n) + (7n)2] [∵ p3 – q3 = (p – q)p2 + pq + q2]
= (4m – 7n) (16m2 + 28m.n + 49n2)
अतः अभीष्ट गुणनखण्ड = (4m – 7n) (16m2 + 28m.n + 49n2).
प्रश्न 11.
गुणनखण्ड कीजिए : 27x3 + y3 + z3 – 9xyz.
हल:
27x3 + y3 + z3 – 9xyz = (3x)3 + (y)3 + (z)3 – 3(3x)(y)(z)
= (3x + y + z) [(3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x) (y) – (y)(z) – (z)(3x)]
= (3x + y + z) (9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx)
अत: अभीष्ट गुणनखण्ड = (3x + y + z) (9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx)
प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए :
x3 + y3 + z3 – 3xyz = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2].
हल:
प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz. (2018)
हल:
हम जानते हैं कि :
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + 2) (x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx) (सर्वसमिका) …(1)
लेकिन x + y + z = 0 (दिया है) …(2)
समीकरण (1) एवं (2) से,
x3 + y3 + z3 – 3 xyz = 0 x (x2 + y2+ z2 – xy – yz – zx) = 0
⇒ x3 + y3 + z3 – 3xyz. इति सिद्धम्
प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (-12) + (7) + (5)3
(ii) (28) + (-15)3 + (-13)3.
हल:
(i) चूँकि (-12) + (7) + (5) = – 12 + 12 = 0 है
(- 12)3 + (7)3 + (5)3 = 3(-12) (7) (5)
= – 1260
अतः अभीष्ट मान = -1260.
(ii) चूँकि (28) + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0 है
⇒ (28)3 + (- 15)3 + (- 13)3 = 3(28) (- 15) (- 13)
= 16380
अतः अभीष्ट मान = 16380.
प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक ज्ञात कीजिए :
(i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12
हल:
(i) क्षेत्रफल = 25a2 – 35a + 12
= 25a2 – (20 + 15) a + 12
= 25a2 – 20a – 15a + 12
= 5a (5a – 4) – 3 (5a – 4)
= (5a – 4) (5a – 3) = चौड़ाई x लम्बाई
अतः सम्भावित अभीष्ट लम्बाई = (5a – 3) एवं चौड़ाई = (5a – 4).
(ii) क्षेत्रफल = 35y2 + 13y – 12
= 35y2 + (28 – 15) y – 12
= 35y2 + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3) = लम्बाई x चौड़ाई
अतः सम्भावित अभीष्ट लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः (5y + 4) एवं (7y – 3) हैं।
प्रश्न 16.
घनाभों जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक ज्ञात कीजिए :
(i) आयतन : 3x3 – 12x
(ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k
हल:
(i) आयतन = 3x3 – 12x
= 3x [x2 – 4]
= 3x [(x)2 – (2)2]
= 3x (x – 2) (x + 2)
अतः सम्भावित अभीष्ट विमाएँ : 3x, (x – 2) एवं (x + 2) हैं।
(ii) आयतन = 12ky2 + 8ky – 20k
= 4k [3y2 + 2y – 5]
= 4k [3y2 + (5 – 3) y – 5]
= 4k [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
अतः सम्भावित अभीष्ट विमाएँ : 4k, (3y + 5) एवं (y – 1) हैं।