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NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……………. 10 पदों तक।
(ii)-37,-33,-29, …………….. 12 पदों तक।
(iii) 0.6,1.7,2.8, ………………. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \), ……….. 11 पदों तक।
हल:
(i) 2, 7, 12, ……….. 10 पदों तक
यहाँ a = 2,d = 7 – 2 = 5 एवं n = 10 है।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5 (4 + 45)
⇒ Sn = 5 × 49 = 245
अत: अभीष्ट योग = 245 है।
(ii) -37,-33,-29, ……… 12 पदों तक
यहाँ a = -37, d = (-33) – (-37) = -33 + 37 = 4 एवं n = 12
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1)व]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × (-37) + (12 – 1) (4)]
= 6 (-74 + 11 × 4)
= 6 (-74 + 44)
= 6 (-30) = -180
अतः अभीष्ट योग = -180 है।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………. 100 पदों तक
यहाँ a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1 एवं n = 100
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) d]
⇒ S100 = \(\frac { 100 }{ 2 } \) [2 × 0.6 + (100 – 1) (1.1)]
= 50 (1.2 + 99 × 1.1)
= 50 (1.2 + 108.9)
⇒ S100 = 50 × 110.1 = 5505.0
अभीष्ट योग = 5505 है।
(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \) ………. 11 पदों तक
यहाँ, a = \(\frac { 1 }{ 15 } \), d = \(\frac { 1 }{ 12 } \) – \(\frac { 1 }{ 15 } \) = \(\frac { 15-12 }{ 180 } \) = \(\frac { 3 }{ 180 } \) = \(\frac { 1 }{ 60 } \) एवं n = 11
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S11 = \(\frac { 11 }{ 2 } \) [2 × \(\frac { 1 }{ 15 } \) + (11 – 1) × \(\frac { 1 }{ 60 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [\(\frac { 2 }{ 15 } \) + \(\frac { 1 }{ 6 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [latex]\frac { 4+5 }{ 30 } [/latex] = \(\frac { 11 }{ 2 } \) × \(\frac { 9 }{ 30 } \) = \(\frac { 33 }{ 20 } \)
अतः अभीष्ट योग = \(\frac { 33 }{ 20 } \) है।
प्रश्न 2.
नीचे दिए गए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……………….. + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ………….+ 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ………….+ (-230)
हल:
(i) Sn = 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……… + 84
चूँकि (10\(\frac { 1 }{ 2 } \) – 7) = (14 – 10\(\frac { 1 }{ 2 } \)) = 3\(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ d = \(\frac { 7 }{ 2 } \)
अतः उक्त एक AP है, जहाँ a = 7 एवं an = 84.
∵ an = a + (n – 1) d
⇒ 84 = 7 + (n – 1) (\(\frac { 7 }{ 2 } \))
⇒ 168 = 14 + 7n – 7
⇒ 7n = 168 + 7 – 14 = 175 – 14 = 161
⇒ n = \(\frac { 161 }{ 7 } \) = 23, अतः श्रेढ़ी में 23 पद हैं।
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l] = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + an]
⇒ Sn = \(\frac { 23 }{ 2 } \) [7+ 84] = \(\frac { 23 }{ 2 } \) × 91
= \(\frac { 2093 }{ 2 } \) = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: अभीष्ट योग = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
(ii) Sn = 34 + 32 + 30 + …………… + 10
यहाँ a = 34,d = 32 – 34 = -2 एवं an = 10
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 10 = 34 + (n – 1) (-2)
⇒ 10 = 34 – 2n + 2
⇒ 2n = 36 – 10 = 26
⇒ n = \(\frac { 26 }{ 2 } \) = 13, अतः श्रेणी में 13 पद हैं।
∴ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + an)
⇒ Sn = \(\frac { 13 }{ 2 } \) (34 + 10)
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 44 = 13 × 22 = 286
अत: अभीष्ट योग = 286 है।
(iii) Sn = (-5)+ (-8) + (-11) + ………. + (-230)
यहाँ a = -5, d= (-8) – (-5) = -8 + 5 = -3 एवं an = -230
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ – 230 = – 5 + (n – 1) (-3)
⇒ -230 = -5 – 3n + 3
⇒ 3n = 230 + 3 – 5 = 233 – 5 = 228
⇒ n = \(\frac { 228 }{ 3 } \) = 76
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
= \(\frac { 76 }{ 2 } \) [-5 + (-230)]
= 38 (-235) = -8930
अतः अभीष्ट योग = -8930 है।
प्रश्न 3.
एक A.P. में
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। a और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) यहाँ a = 5, d = 3 एवं an = 50 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 50 = 5 + (n – 1) × 3
⇒ 50 = 5 + 3n – 3
⇒ 3n = 50 + 3 – 5 = 48
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × a]
= \(\frac { 16 }{ 2 } \)[2 × 5 + (16 – 1) × 3]
= 8 (10 + 45) = 8 × 55 = 440
अतः n एवं Sn के अभीष्ट मान क्रमशः 16 एवं 440 हैं।
(ii) यहाँ a = 7 एवं a13 = 35 (दिए हैं)
∵ an = a+ (n – 1) × d
⇒ 35 = a13 = 7 + (13 – 1) × d
⇒ 35 = 7 + 12d
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac { 28 }{ 12 } \) = \(\frac { 7 }{ 3 } \)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S13 = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 7 + (13 – 1) × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 12 × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 28] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [42]
= 13 × 21 = 273
अत: d एवं S13 के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 3 } \) एवं 273 हैं।
(iii) यहाँ a12 = 37 और d = 3 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 37 = a12 = a + (12 – 1) × 3
⇒ 37 = a + 33
⇒ a = 37 – 33 = 4
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 4 + (12 – 1) × 3]
= 6 [8 + 33] = 6 × 41 = 246
अत: a एवं S12 के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 246 हैं।
(iv) यहाँ a3 = 15 और S10 = 125 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 15 = a3 = a + (3 – 1) × d
⇒ a + 2d = 15 …..(1)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 125 = S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2a + (10 – 1) × d]
⇒ 125 = 5[2a + 9d]
⇒ 2a + 9d = 25 …..(2)
एवं 2a + 4d = 30 [समीकरण (1) × (2) से]
⇒ 5d = – 5 ⇒ d = –\(\frac { 5 }{ 5 } \) = -1
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 (-1) = 15 ⇒ a = 15 + 2 = 17.
अब ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ a10 = 17 + (10 – 1) × (- 1)
= 17 + 9 (-1) = 17 – 9 = 8
अत: d एवं a10 के अभीष्ट मान क्रमशः -1 एवं 8 हैं।
(v) यहाँ d = 5 एवं S9 = 75 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
अत: a एवं a9 के अभीष्ट मान क्रमशः –\(\frac { 35 }{ 3 } \) एवं \(\frac { 85 }{ 3 } \) हैं।
(vi) यहाँ, a = 2, d = 8 और Sn = 90 (दिए हैं)
∴ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ \(\frac { n }{ 2 } \) × [2 × 2 + (n – 1) × 8] = 90
⇒ 4n + 8n2 – 8n = 180
⇒ 8n2 – 4n – 180 = 0
⇒ 2n2 – n – 45 = 0
⇒ 2n2 – 10n + 9n – 45 = 0
⇒ 2n(n – 5)+ 9(n – 5) = 0
⇒ (n – 5) (2n + 9) = 0
या तो 2n + 9 = 0 ⇒ n= –\(\frac { 9 }{ 2 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 5 = 0 ⇒ n = 5
अब ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ an = 2 + (5 – 1) × 8
⇒ an = 2 + 32 = 34
अतः n एवं an के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 34 हैं।
(vii) यहाँ a = 8, an = 62 और Sn = 210 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
⇒ 210 = \(\frac { n }{ 2 } \) [8 + 62] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 70
⇒ 35n = 210 ⇒ n = \(\frac { 210 }{ 35 } \) = 6
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 62 = 8 + (6 – 1) × d = 8 + 5d
⇒ 5d = 62 – 8 = 54 ⇒ d = 54/5
अत: n और 4 के अभीष्ट मान क्रमशः 6 और 54/5 हैं।
(viii) यहाँ an = 4, d = 2 और Sn = – 14 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 4 = a + (n – 1) × 2
⇒ a + 2n = 4 + 2 = 6 ….(1)
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
⇒ – 14 = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + 4]
⇒ – 28 = n(a + 4) …..(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n का मान समीकरण (2) में रखने पर,
-28 = n[6 – 2n + 4] = n(10 – 2n)
⇒ -28 = 10n – 2n2
⇒ 2n2 – 10n – 28 = 0
⇒ n2 – 5n – 14 = 0
⇒ n2 – 7n+ 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n+ 2) = 0
या तो n + 2 = 0 तब n = -2 जो असम्भव है।
अथवा n – 7 = 0 ⇒ n = 7
n = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 7 = 6 ⇒ a = 6 – 14 = – 8
अत: a एवं n के अभीष्ट मान क्रमशः -8 और 7 हैं।
(ix) यहाँ a = 3, n = 8 और S = 192 (दिए हैं)
S = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 192 = \(\frac { 8 }{ 2 } \)[2 × 3 + (8 – 1) × d]
⇒ 192 = 4 [6 + 7d]
⇒ 7d + 6 = 48
⇒ 7d = 48 – 6 = 42
⇒ d = \(\frac { 42 }{ 7 } \) = 6
अतः d का अभीष्ट मान 6 है।
(x) यहाँ l = 28, S = 144 और n = 9 (दिए हैं)
∵ S = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
⇒ 144 = \(\frac { 9 }{ 2 } \)(a + 28)
⇒ a + 28 = \(\frac{144 \times 2}{9}\) = 16 × 2 = 32
⇒ a = 32 – 28 = 4
अत: a का अभीष्ट मान 4 है।
प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए AP: 9, 17, 25, ……… के कितने पद लेने चाहिए?
हल:
यहाँ Sn = 636 तथा AP : 9, 17, 25,………… दिए हैं; जहाँ a = 9 एवं d = 25 – 17 = 8.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 636 = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 9 + (n – 1) × 8]
⇒ 636 = 9n + 4n2 – 4n
⇒ 4n2 + 5n – 636 = 0
⇒ 4n2 +53n – 48n = 636 = 0
⇒ n(4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53) (n – 12) = 0
या तो 4n + 53 = 0 ⇒ n = –\(\frac { 53 }{ 4 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 12 = 0 ⇒ n = 12
अत: 636 योग प्राप्त करने के लिए दी गई AP के हमें 12 पद लेने चाहिए।
प्रश्न 5.
किसी AP का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या एवं सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 5, l = 45 एवं Sn = 400 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l]
⇒ 400 = \(\frac { n }{ 2 } \) [5 + 45] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 50 = 25n
⇒ 25n = 400 ⇒ n = \(\frac { 400 }{ 25 } \) = 16
∵ an = l = a + (n – 1) × d
⇒ 45 = 5 + (16 – 1) × d
⇒ 15d = 45 – 5 = 40
⇒ d = \(\frac { 40 }{ 15 } \) = \(\frac { 8 }{ 3 } \)
अत: अभीष्ट पदों की संख्या एवं सार्वान्तर क्रमश: 16 एवं 8/3 हैं।
प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग कितना है?
हल:
यहाँ a = 17, l = an = 350 एवं d = 9(दिए हैं)
∵ l = an = a + (n – 1) × d
⇒ 350 = 17 + (n – 1) × 9
⇒ 350 = 17 + 9n – 9
⇒ 9n = 350 + 9 – 17 = 359 – 17 = 342
⇒ n = \(\frac { 342 }{ 9 } \) = 38
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
= \(\frac { 38 }{ 2 } \)(17 + 350)
= 19 × 367
= 6973
अतः दी गई AP में अभीष्ट पदों की संख्या 38 तथा उनका योग 6973 है।
प्रश्न 7.
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
यहाँ, d = 7, a22 = 149 एवं n = 22 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ a22 = a + (22 – 1) × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149 ⇒ a = 149 – 147 = 2
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + an)
⇒ S22 = \(\frac { 22 }{ 2 } \) [2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
अत: AP के प्रथम 22 पदों का अभीष्ट योग = 1661 है।
प्रश्न 8.
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
यहाँ n = 51, a2 = 14 एवं a3 = 18
∵ a2 = a + (2 – 1)d = 14, ⇒ a + d = 14 ….(1)
एवं a3 = a + (3 – 1)d = 18 ⇒ a + 2d = 18 …(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
d = 18 – 14 = 4
d = 4 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 = 14 ⇒ a = 14 – 4 = 10
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S51 = \(\frac { 51 }{ 2 } \) [2 × 10 + (51 – 1) × 4]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) [20 + 200]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) × 220
= 51 × 110 = 5610
अतः प्रथम 51 पदों का अभीष्ट योग = 5610 है।
प्रश्न 9.
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ
S7 = 49 एवं S17 = 289 दिए हैं।
⇒ S7 = \(\frac { 7 }{ 2 } \)[2a + 6d] = 49
⇒ 7a + 21d = 49 ⇒ a + 3d = 7 …..(1)
एवं S17 = \(\frac { 17 }{ 2 } \) [2a +16d] = 289
⇒ a + 8d = 17 …..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
5d = 10 ⇒ d = \(\frac { 10 }{ 5 } \) = 2
d = 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 3 × 2 = 7 ⇒ a = 7 – 6 = 1
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac { n }{ 2 } \) [2 + 2n – 2] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 2n = n2
अतः प्रथम n पदों का अभीष्ट योग = n2 है।
प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a1, a2, ……… an, ….. एक AP बनाती है। यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं:
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग भी ज्ञात कीजिए।
हल:
एवं an = 3 + 4n
यहाँ a1, a2, a3, ……… an, ……………
= 7, 11, 15, ……….. (3 + 4n), एक AP है।
जहाँ a = 7 एवं d = 4 (सार्वान्तर)
अतः a1, a2, a3, ………… an …………. एक AP बनाती है, यदि an = 3 + 4n. इति सिद्धम् अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S15 = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 7 + (15 – 1) (4)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] [14 + 14 × 4]= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [14 + 56]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] = 15 × 35 = 525
अतः AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = 525 है।
एवं an = 9 – 5n
यहाँ, a1, a2, a3, ……….. an, ……..
= 4, -1, -6, …………. (9 – 5n), ………….. एक AP है। जहाँ a = 4 एवं d = -5
अतः a1, a2, a3, ………… an………… एक AP बनाती हैं, यदि an = 9 – 5n.
इति सिद्धम अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S15 = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 4 + (15 – 1) (-5)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 + 14 (-5)] = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 – 70]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) (-62) = 15 (-31) = -465
अत: AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = -465 है।
प्रश्न 11.
यदि किसी AP के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 10 वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ Sn = 4n – n2 (दिया है)
⇒ S1 = 4 × 1 – (1)2 = 4 – 1 = 3 ⇒ a = 3
⇒ S2 = 4 × 2 – (2)2 = 8 – 4 = 4
दूसरा पद a2 = S2 – S1, = 4 – 3 = 1
⇒ सार्वान्तर d = a2 – a1 = 1 – 3 = -2
अब a3 = a + 2d = 3 + 2 (-2) = 3 – 4 = -1
a10 = a + 9d = 3 + 9 × (-2)= 3 – 18 = – 15
एवं an = a + (n – 1)d = 3 + (n – 1) (-2)
= 3 – 2n + 2 = 5 -2n
अतः अभीष्ट मान S1 = a1 = 3, S2 = 4, a2 = 1, a3 = -1, a10 = -15 एवं an = 5 – 2n है।
प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं:
6, 12, 18, 24, …………….
यहाँ a = 6, d = 12 – 6 = 6, n = 40.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S40 = \(\frac { 40 }{ 2 } \) [2 × 6 + (40 – 1) × 6]
= 20 [12 + 240 – 6] = 20(246) = 4920
अतः अभीष्ट 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है
प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, …
यहाँ a = 8,d = 16 – 8 = 8 एवं n = 15
Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 8 + (15 – 1) × 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [16 + 120 – 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) × 128 = 15 × 64 = 960
अत: 8 के प्रथम 15 गुणजों का अभीष्ट योग = 960 है।
प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं:
1,3,5,7, ……………, 45,47, 49
जहाँ a = 1, d = 3 – 1 = 2, an = 49
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 49 = 1 + (n – 1) × 2
⇒ 49 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1
⇒ 2n = 49 + 1 = 50 ⇒ n = \(\frac { 50 }{ 2 } \) = 25
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + an]
⇒ Sn = \(\frac { 25 }{ 2 } \) (1 + 49) = \(\frac { 25 }{ 2 } \) × 50 = 25 × 25 = 625
अत: 0 और 50 के बीच सभी विषम संख्याओं का योग 625 है।
प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹300 इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
जुर्माने की राशि प्रतिदिन क्रमशः ₹200, ₹250, ₹300 ……….. है, जो एक AP का निर्माण करती है।
जहाँ a = ₹ 200, d = ₹ 250 – ₹ 200 = ₹ 50 एवं n = 30 दिन।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S30 = \(\frac { 30 }{ 2 } \) [2 × 200 + (30 – 1) × 50]
= 15 [400 + 1500 – 50]
= 15 [1900 – 50] = 15 × 1850
= ₹27750
अतः जुर्माने के रूप में कुल ₹ 27,750 राशि अदा करनी पड़ेगी।
प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों के उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गयी है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्रथम पुरस्कार ₹ a है तथा d = – ₹ 20, n = 7 एवं S7 = ₹ 700 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 700 = \(\frac { 7 }{ 2 } \) [2 × a + (7 – 1) × (- 20)]
⇒ 1400 = 7[2a – 120]
⇒ 1400 = 14a – 840
⇒ 14a = 1400 + 840 = 2240
⇒ a = \(\frac { 2240 }{ 14 } \) = 160
a2 = 160 – 20 = 140, a3 = 140 – 20 = 120, a4 = 120 – 20 = 100, a5 = 100 – 20 = 80, a6 = 80 – 20 = 60 एवं a7 = 60 – 20 = 40
अत: अभीष्ट पुरस्कार क्रमशः ₹ 160, ₹140, ₹ 120, ₹100, ₹ 80, ₹60 एवं ₹40 है।
प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ कक्षा I का एक अनुभाग पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल:
चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन-तीन अनुभाग हैं। इसलिए कक्षा I द्वारा 1 × 3 = 3 पेड़, कक्षा II द्वारा 2 × 3 = 6 पेड़, कक्षा III द्वारा 3 × 3 = 9 पैड़ इसी प्रकार कक्षा XII द्वारा 12 × 3 = 36 पेड़ लगाए जाएंगे। इस प्रकार 3, 6, 9, ……………, 36 एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 3, d = 6 – 3 – 3 एवं n = 12.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6 [6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की अभीष्ट संख्या = 234 होगी।
प्रश्न 18.
केन्द्र A से आरम्भ करते हुए बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, …………. वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है जैसा कि संलग्न आकृति 5.1 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए।)
हल:
मान लीजिए l1, l2, l3, ………. क्रमशः A, B,
A, ………… केन्द्रों वाले अर्धवृत्तों की लम्बाईयाँ हैं, तो
l1 = 0.5 π cm, l2 = 1:0 π cm, l3 = 1.5 π cm
इस प्रकार l1, l2, l3, …………… अर्थात्
0.5 π, 1.0 π, 1.5 π, …………… 13 पद एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 0.5 π, d = 1.0 π – 0.5 π= 0.5 π एवं n = 13.
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S13 = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 0.5 π + (13 – 1) × 0.5 π]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [1.0 π + 6.0 π] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 π
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) = 143 cm
अतः अभीष्ट सर्पिल की कुल लम्बाई = 143 cm है।
प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्टे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे इत्यादि (देखिए संलग्न आकृति 5.2)। ये 200 लट्टे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
हल:
पंक्तियों में लट्ठों की संख्याएँ एक AP का निर्माण करती हैं, जहाँ a = 20, d = 19 – 20 = – 1 एवं Sn = 200, दिया है।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 200 = \(\frac { n }{ 2 } \) [2 × 20 + (n – 1) × (-1)]
⇒ 400 = n(40 – n + 1)
⇒ 400 = 41n – n2
⇒ n2 – 41n + 400 = 0
⇒ n2 – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
या तो n – 25 = 0 तब n = 25
तब a25 = 20 + (25 – 1) (-1) = 20 – 24 = – 4
अतः सबसे ऊपरी पंक्ति में -4 लट्टे होते हैं, जो असम्भव है, इसलिए n – 16 = 0 एवं n = 16
तथा a16 = 20 + (16 – 1) (-1) = 20 – 15 = 5 लट्टे
अत: कुल पंक्तियाँ 16 हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्टे हैं।
प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (Potato race) में प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.3)
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़ कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल:
पहले आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a1 = 2 × 5 = 10 m = a
दूसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a2 = 2 × (5 + 3)= 2 × 8 = 16 m
तीसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a3 = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 m
इस प्रकार दौड़ी गई दूरियाँ क्रमशः 10 m, 16 m, 22 m, ……………… एक AP का निर्माण करती हैं।
जहाँ a = 10 m, d = (16 m – 10 m) = 6 m एवं n = 10
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370 m
अतः प्रत्येक प्रतियोगी को कुल 370 m दूरी दौड़नी पड़ेगी।
In this post, we will share NCERT Class 10th Maths Book Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3. These solutions are based on new NCERT Syllabus.
NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……………. 10 पदों तक।
(ii)-37,-33,-29, …………….. 12 पदों तक।
(iii) 0.6,1.7,2.8, ………………. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \), ……….. 11 पदों तक।
हल:
(i) 2, 7, 12, ……….. 10 पदों तक
यहाँ a = 2,d = 7 – 2 = 5 एवं n = 10 है।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5 (4 + 45)
⇒ Sn = 5 × 49 = 245
अत: अभीष्ट योग = 245 है।
(ii) -37,-33,-29, ……… 12 पदों तक
यहाँ a = -37, d = (-33) – (-37) = -33 + 37 = 4 एवं n = 12
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1)व]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × (-37) + (12 – 1) (4)]
= 6 (-74 + 11 × 4)
= 6 (-74 + 44)
= 6 (-30) = -180
अतः अभीष्ट योग = -180 है।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………. 100 पदों तक
यहाँ a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1 एवं n = 100
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) d]
⇒ S100 = \(\frac { 100 }{ 2 } \) [2 × 0.6 + (100 – 1) (1.1)]
= 50 (1.2 + 99 × 1.1)
= 50 (1.2 + 108.9)
⇒ S100 = 50 × 110.1 = 5505.0
अभीष्ट योग = 5505 है।
(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \) ………. 11 पदों तक
यहाँ, a = \(\frac { 1 }{ 15 } \), d = \(\frac { 1 }{ 12 } \) – \(\frac { 1 }{ 15 } \) = \(\frac { 15-12 }{ 180 } \) = \(\frac { 3 }{ 180 } \) = \(\frac { 1 }{ 60 } \) एवं n = 11
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S11 = \(\frac { 11 }{ 2 } \) [2 × \(\frac { 1 }{ 15 } \) + (11 – 1) × \(\frac { 1 }{ 60 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [\(\frac { 2 }{ 15 } \) + \(\frac { 1 }{ 6 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [latex]\frac { 4+5 }{ 30 } [/latex] = \(\frac { 11 }{ 2 } \) × \(\frac { 9 }{ 30 } \) = \(\frac { 33 }{ 20 } \)
अतः अभीष्ट योग = \(\frac { 33 }{ 20 } \) है।
प्रश्न 2.
नीचे दिए गए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……………….. + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ………….+ 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ………….+ (-230)
हल:
(i) Sn = 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……… + 84
चूँकि (10\(\frac { 1 }{ 2 } \) – 7) = (14 – 10\(\frac { 1 }{ 2 } \)) = 3\(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ d = \(\frac { 7 }{ 2 } \)
अतः उक्त एक AP है, जहाँ a = 7 एवं an = 84.
∵ an = a + (n – 1) d
⇒ 84 = 7 + (n – 1) (\(\frac { 7 }{ 2 } \))
⇒ 168 = 14 + 7n – 7
⇒ 7n = 168 + 7 – 14 = 175 – 14 = 161
⇒ n = \(\frac { 161 }{ 7 } \) = 23, अतः श्रेढ़ी में 23 पद हैं।
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l] = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + an]
⇒ Sn = \(\frac { 23 }{ 2 } \) [7+ 84] = \(\frac { 23 }{ 2 } \) × 91
= \(\frac { 2093 }{ 2 } \) = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: अभीष्ट योग = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
(ii) Sn = 34 + 32 + 30 + …………… + 10
यहाँ a = 34,d = 32 – 34 = -2 एवं an = 10
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 10 = 34 + (n – 1) (-2)
⇒ 10 = 34 – 2n + 2
⇒ 2n = 36 – 10 = 26
⇒ n = \(\frac { 26 }{ 2 } \) = 13, अतः श्रेणी में 13 पद हैं।
∴ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + an)
⇒ Sn = \(\frac { 13 }{ 2 } \) (34 + 10)
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 44 = 13 × 22 = 286
अत: अभीष्ट योग = 286 है।
(iii) Sn = (-5)+ (-8) + (-11) + ………. + (-230)
यहाँ a = -5, d= (-8) – (-5) = -8 + 5 = -3 एवं an = -230
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ – 230 = – 5 + (n – 1) (-3)
⇒ -230 = -5 – 3n + 3
⇒ 3n = 230 + 3 – 5 = 233 – 5 = 228
⇒ n = \(\frac { 228 }{ 3 } \) = 76
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
= \(\frac { 76 }{ 2 } \) [-5 + (-230)]
= 38 (-235) = -8930
अतः अभीष्ट योग = -8930 है।
प्रश्न 3.
एक A.P. में
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। a और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) यहाँ a = 5, d = 3 एवं an = 50 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 50 = 5 + (n – 1) × 3
⇒ 50 = 5 + 3n – 3
⇒ 3n = 50 + 3 – 5 = 48
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × a]
= \(\frac { 16 }{ 2 } \)[2 × 5 + (16 – 1) × 3]
= 8 (10 + 45) = 8 × 55 = 440
अतः n एवं Sn के अभीष्ट मान क्रमशः 16 एवं 440 हैं।
(ii) यहाँ a = 7 एवं a13 = 35 (दिए हैं)
∵ an = a+ (n – 1) × d
⇒ 35 = a13 = 7 + (13 – 1) × d
⇒ 35 = 7 + 12d
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac { 28 }{ 12 } \) = \(\frac { 7 }{ 3 } \)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S13 = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 7 + (13 – 1) × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 12 × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 28] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [42]
= 13 × 21 = 273
अत: d एवं S13 के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 3 } \) एवं 273 हैं।
(iii) यहाँ a12 = 37 और d = 3 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 37 = a12 = a + (12 – 1) × 3
⇒ 37 = a + 33
⇒ a = 37 – 33 = 4
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 4 + (12 – 1) × 3]
= 6 [8 + 33] = 6 × 41 = 246
अत: a एवं S12 के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 246 हैं।
(iv) यहाँ a3 = 15 और S10 = 125 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 15 = a3 = a + (3 – 1) × d
⇒ a + 2d = 15 …..(1)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 125 = S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2a + (10 – 1) × d]
⇒ 125 = 5[2a + 9d]
⇒ 2a + 9d = 25 …..(2)
एवं 2a + 4d = 30 [समीकरण (1) × (2) से]
⇒ 5d = – 5 ⇒ d = –\(\frac { 5 }{ 5 } \) = -1
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 (-1) = 15 ⇒ a = 15 + 2 = 17.
अब ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ a10 = 17 + (10 – 1) × (- 1)
= 17 + 9 (-1) = 17 – 9 = 8
अत: d एवं a10 के अभीष्ट मान क्रमशः -1 एवं 8 हैं।
(v) यहाँ d = 5 एवं S9 = 75 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
अत: a एवं a9 के अभीष्ट मान क्रमशः –\(\frac { 35 }{ 3 } \) एवं \(\frac { 85 }{ 3 } \) हैं।
(vi) यहाँ, a = 2, d = 8 और Sn = 90 (दिए हैं)
∴ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ \(\frac { n }{ 2 } \) × [2 × 2 + (n – 1) × 8] = 90
⇒ 4n + 8n2 – 8n = 180
⇒ 8n2 – 4n – 180 = 0
⇒ 2n2 – n – 45 = 0
⇒ 2n2 – 10n + 9n – 45 = 0
⇒ 2n(n – 5)+ 9(n – 5) = 0
⇒ (n – 5) (2n + 9) = 0
या तो 2n + 9 = 0 ⇒ n= –\(\frac { 9 }{ 2 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 5 = 0 ⇒ n = 5
अब ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ an = 2 + (5 – 1) × 8
⇒ an = 2 + 32 = 34
अतः n एवं an के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 34 हैं।
(vii) यहाँ a = 8, an = 62 और Sn = 210 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
⇒ 210 = \(\frac { n }{ 2 } \) [8 + 62] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 70
⇒ 35n = 210 ⇒ n = \(\frac { 210 }{ 35 } \) = 6
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 62 = 8 + (6 – 1) × d = 8 + 5d
⇒ 5d = 62 – 8 = 54 ⇒ d = 54/5
अत: n और 4 के अभीष्ट मान क्रमशः 6 और 54/5 हैं।
(viii) यहाँ an = 4, d = 2 और Sn = – 14 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 4 = a + (n – 1) × 2
⇒ a + 2n = 4 + 2 = 6 ….(1)
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
⇒ – 14 = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + 4]
⇒ – 28 = n(a + 4) …..(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n का मान समीकरण (2) में रखने पर,
-28 = n[6 – 2n + 4] = n(10 – 2n)
⇒ -28 = 10n – 2n2
⇒ 2n2 – 10n – 28 = 0
⇒ n2 – 5n – 14 = 0
⇒ n2 – 7n+ 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n+ 2) = 0
या तो n + 2 = 0 तब n = -2 जो असम्भव है।
अथवा n – 7 = 0 ⇒ n = 7
n = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 7 = 6 ⇒ a = 6 – 14 = – 8
अत: a एवं n के अभीष्ट मान क्रमशः -8 और 7 हैं।
(ix) यहाँ a = 3, n = 8 और S = 192 (दिए हैं)
S = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 192 = \(\frac { 8 }{ 2 } \)[2 × 3 + (8 – 1) × d]
⇒ 192 = 4 [6 + 7d]
⇒ 7d + 6 = 48
⇒ 7d = 48 – 6 = 42
⇒ d = \(\frac { 42 }{ 7 } \) = 6
अतः d का अभीष्ट मान 6 है।
(x) यहाँ l = 28, S = 144 और n = 9 (दिए हैं)
∵ S = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
⇒ 144 = \(\frac { 9 }{ 2 } \)(a + 28)
⇒ a + 28 = \(\frac{144 \times 2}{9}\) = 16 × 2 = 32
⇒ a = 32 – 28 = 4
अत: a का अभीष्ट मान 4 है।
प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए AP: 9, 17, 25, ……… के कितने पद लेने चाहिए?
हल:
यहाँ Sn = 636 तथा AP : 9, 17, 25,………… दिए हैं; जहाँ a = 9 एवं d = 25 – 17 = 8.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 636 = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 9 + (n – 1) × 8]
⇒ 636 = 9n + 4n2 – 4n
⇒ 4n2 + 5n – 636 = 0
⇒ 4n2 +53n – 48n = 636 = 0
⇒ n(4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53) (n – 12) = 0
या तो 4n + 53 = 0 ⇒ n = –\(\frac { 53 }{ 4 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 12 = 0 ⇒ n = 12
अत: 636 योग प्राप्त करने के लिए दी गई AP के हमें 12 पद लेने चाहिए।
प्रश्न 5.
किसी AP का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या एवं सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 5, l = 45 एवं Sn = 400 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l]
⇒ 400 = \(\frac { n }{ 2 } \) [5 + 45] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 50 = 25n
⇒ 25n = 400 ⇒ n = \(\frac { 400 }{ 25 } \) = 16
∵ an = l = a + (n – 1) × d
⇒ 45 = 5 + (16 – 1) × d
⇒ 15d = 45 – 5 = 40
⇒ d = \(\frac { 40 }{ 15 } \) = \(\frac { 8 }{ 3 } \)
अत: अभीष्ट पदों की संख्या एवं सार्वान्तर क्रमश: 16 एवं 8/3 हैं।
प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग कितना है?
हल:
यहाँ a = 17, l = an = 350 एवं d = 9(दिए हैं)
∵ l = an = a + (n – 1) × d
⇒ 350 = 17 + (n – 1) × 9
⇒ 350 = 17 + 9n – 9
⇒ 9n = 350 + 9 – 17 = 359 – 17 = 342
⇒ n = \(\frac { 342 }{ 9 } \) = 38
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
= \(\frac { 38 }{ 2 } \)(17 + 350)
= 19 × 367
= 6973
अतः दी गई AP में अभीष्ट पदों की संख्या 38 तथा उनका योग 6973 है।
प्रश्न 7.
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
यहाँ, d = 7, a22 = 149 एवं n = 22 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ a22 = a + (22 – 1) × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149 ⇒ a = 149 – 147 = 2
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + an)
⇒ S22 = \(\frac { 22 }{ 2 } \) [2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
अत: AP के प्रथम 22 पदों का अभीष्ट योग = 1661 है।
प्रश्न 8.
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
यहाँ n = 51, a2 = 14 एवं a3 = 18
∵ a2 = a + (2 – 1)d = 14, ⇒ a + d = 14 ….(1)
एवं a3 = a + (3 – 1)d = 18 ⇒ a + 2d = 18 …(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
d = 18 – 14 = 4
d = 4 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 = 14 ⇒ a = 14 – 4 = 10
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S51 = \(\frac { 51 }{ 2 } \) [2 × 10 + (51 – 1) × 4]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) [20 + 200]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) × 220
= 51 × 110 = 5610
अतः प्रथम 51 पदों का अभीष्ट योग = 5610 है।
प्रश्न 9.
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ
S7 = 49 एवं S17 = 289 दिए हैं।
⇒ S7 = \(\frac { 7 }{ 2 } \)[2a + 6d] = 49
⇒ 7a + 21d = 49 ⇒ a + 3d = 7 …..(1)
एवं S17 = \(\frac { 17 }{ 2 } \) [2a +16d] = 289
⇒ a + 8d = 17 …..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
5d = 10 ⇒ d = \(\frac { 10 }{ 5 } \) = 2
d = 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 3 × 2 = 7 ⇒ a = 7 – 6 = 1
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac { n }{ 2 } \) [2 + 2n – 2] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 2n = n2
अतः प्रथम n पदों का अभीष्ट योग = n2 है।
प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a1, a2, ……… an, ….. एक AP बनाती है। यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं:
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग भी ज्ञात कीजिए।
हल:
एवं an = 3 + 4n
यहाँ a1, a2, a3, ……… an, ……………
= 7, 11, 15, ……….. (3 + 4n), एक AP है।
जहाँ a = 7 एवं d = 4 (सार्वान्तर)
अतः a1, a2, a3, ………… an …………. एक AP बनाती है, यदि an = 3 + 4n. इति सिद्धम् अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S15 = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 7 + (15 – 1) (4)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] [14 + 14 × 4]= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [14 + 56]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] = 15 × 35 = 525
अतः AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = 525 है।
एवं an = 9 – 5n
यहाँ, a1, a2, a3, ……….. an, ……..
= 4, -1, -6, …………. (9 – 5n), ………….. एक AP है। जहाँ a = 4 एवं d = -5
अतः a1, a2, a3, ………… an………… एक AP बनाती हैं, यदि an = 9 – 5n.
इति सिद्धम अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S15 = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 4 + (15 – 1) (-5)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 + 14 (-5)] = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 – 70]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) (-62) = 15 (-31) = -465
अत: AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = -465 है।
प्रश्न 11.
यदि किसी AP के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 10 वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ Sn = 4n – n2 (दिया है)
⇒ S1 = 4 × 1 – (1)2 = 4 – 1 = 3 ⇒ a = 3
⇒ S2 = 4 × 2 – (2)2 = 8 – 4 = 4
दूसरा पद a2 = S2 – S1, = 4 – 3 = 1
⇒ सार्वान्तर d = a2 – a1 = 1 – 3 = -2
अब a3 = a + 2d = 3 + 2 (-2) = 3 – 4 = -1
a10 = a + 9d = 3 + 9 × (-2)= 3 – 18 = – 15
एवं an = a + (n – 1)d = 3 + (n – 1) (-2)
= 3 – 2n + 2 = 5 -2n
अतः अभीष्ट मान S1 = a1 = 3, S2 = 4, a2 = 1, a3 = -1, a10 = -15 एवं an = 5 – 2n है।
प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं:
6, 12, 18, 24, …………….
यहाँ a = 6, d = 12 – 6 = 6, n = 40.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S40 = \(\frac { 40 }{ 2 } \) [2 × 6 + (40 – 1) × 6]
= 20 [12 + 240 – 6] = 20(246) = 4920
अतः अभीष्ट 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है
प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, …
यहाँ a = 8,d = 16 – 8 = 8 एवं n = 15
Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 8 + (15 – 1) × 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [16 + 120 – 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) × 128 = 15 × 64 = 960
अत: 8 के प्रथम 15 गुणजों का अभीष्ट योग = 960 है।
प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं:
1,3,5,7, ……………, 45,47, 49
जहाँ a = 1, d = 3 – 1 = 2, an = 49
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 49 = 1 + (n – 1) × 2
⇒ 49 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1
⇒ 2n = 49 + 1 = 50 ⇒ n = \(\frac { 50 }{ 2 } \) = 25
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + an]
⇒ Sn = \(\frac { 25 }{ 2 } \) (1 + 49) = \(\frac { 25 }{ 2 } \) × 50 = 25 × 25 = 625
अत: 0 और 50 के बीच सभी विषम संख्याओं का योग 625 है।
प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹300 इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
जुर्माने की राशि प्रतिदिन क्रमशः ₹200, ₹250, ₹300 ……….. है, जो एक AP का निर्माण करती है।
जहाँ a = ₹ 200, d = ₹ 250 – ₹ 200 = ₹ 50 एवं n = 30 दिन।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S30 = \(\frac { 30 }{ 2 } \) [2 × 200 + (30 – 1) × 50]
= 15 [400 + 1500 – 50]
= 15 [1900 – 50] = 15 × 1850
= ₹27750
अतः जुर्माने के रूप में कुल ₹ 27,750 राशि अदा करनी पड़ेगी।
प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों के उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गयी है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्रथम पुरस्कार ₹ a है तथा d = – ₹ 20, n = 7 एवं S7 = ₹ 700 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 700 = \(\frac { 7 }{ 2 } \) [2 × a + (7 – 1) × (- 20)]
⇒ 1400 = 7[2a – 120]
⇒ 1400 = 14a – 840
⇒ 14a = 1400 + 840 = 2240
⇒ a = \(\frac { 2240 }{ 14 } \) = 160
a2 = 160 – 20 = 140, a3 = 140 – 20 = 120, a4 = 120 – 20 = 100, a5 = 100 – 20 = 80, a6 = 80 – 20 = 60 एवं a7 = 60 – 20 = 40
अत: अभीष्ट पुरस्कार क्रमशः ₹ 160, ₹140, ₹ 120, ₹100, ₹ 80, ₹60 एवं ₹40 है।
प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ कक्षा I का एक अनुभाग पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल:
चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन-तीन अनुभाग हैं। इसलिए कक्षा I द्वारा 1 × 3 = 3 पेड़, कक्षा II द्वारा 2 × 3 = 6 पेड़, कक्षा III द्वारा 3 × 3 = 9 पैड़ इसी प्रकार कक्षा XII द्वारा 12 × 3 = 36 पेड़ लगाए जाएंगे। इस प्रकार 3, 6, 9, ……………, 36 एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 3, d = 6 – 3 – 3 एवं n = 12.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6 [6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की अभीष्ट संख्या = 234 होगी।
प्रश्न 18.
केन्द्र A से आरम्भ करते हुए बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, …………. वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है जैसा कि संलग्न आकृति 5.1 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए।)
हल:
मान लीजिए l1, l2, l3, ………. क्रमशः A, B,
A, ………… केन्द्रों वाले अर्धवृत्तों की लम्बाईयाँ हैं, तो
l1 = 0.5 π cm, l2 = 1:0 π cm, l3 = 1.5 π cm
इस प्रकार l1, l2, l3, …………… अर्थात्
0.5 π, 1.0 π, 1.5 π, …………… 13 पद एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 0.5 π, d = 1.0 π – 0.5 π= 0.5 π एवं n = 13.
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S13 = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 0.5 π + (13 – 1) × 0.5 π]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [1.0 π + 6.0 π] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 π
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) = 143 cm
अतः अभीष्ट सर्पिल की कुल लम्बाई = 143 cm है।
प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्टे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे इत्यादि (देखिए संलग्न आकृति 5.2)। ये 200 लट्टे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
हल:
पंक्तियों में लट्ठों की संख्याएँ एक AP का निर्माण करती हैं, जहाँ a = 20, d = 19 – 20 = – 1 एवं Sn = 200, दिया है।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 200 = \(\frac { n }{ 2 } \) [2 × 20 + (n – 1) × (-1)]
⇒ 400 = n(40 – n + 1)
⇒ 400 = 41n – n2
⇒ n2 – 41n + 400 = 0
⇒ n2 – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
या तो n – 25 = 0 तब n = 25
तब a25 = 20 + (25 – 1) (-1) = 20 – 24 = – 4
अतः सबसे ऊपरी पंक्ति में -4 लट्टे होते हैं, जो असम्भव है, इसलिए n – 16 = 0 एवं n = 16
तथा a16 = 20 + (16 – 1) (-1) = 20 – 15 = 5 लट्टे
अत: कुल पंक्तियाँ 16 हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्टे हैं।
प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (Potato race) में प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.3)
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़ कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल:
पहले आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a1 = 2 × 5 = 10 m = a
दूसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a2 = 2 × (5 + 3)= 2 × 8 = 16 m
तीसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a3 = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 m
इस प्रकार दौड़ी गई दूरियाँ क्रमशः 10 m, 16 m, 22 m, ……………… एक AP का निर्माण करती हैं।
जहाँ a = 10 m, d = (16 m – 10 m) = 6 m एवं n = 10
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370 m
अतः प्रत्येक प्रतियोगी को कुल 370 m दूरी दौड़नी पड़ेगी।
