In this post, we will share NCERT Class 10th Maths Book Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3. These solutions are based on new NCERT Syllabus.
NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3
प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।
हल :
∠RPQ = 90° (अर्द्धवृत्त का कोण है)
समकोण ∆RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
चूँकि QR² = PQ² + PR²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
= (25)²
⇒ OR = 25
⇒ 2r = 25
⇒ \(r=\frac { 25 }{ 2 }\) [∵ QR वृत्त का व्यास है] .
चूँकि अर्द्धवृत्त RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}\)
⇒ ar (अर्द्धवृत्त RPQ) = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{11 \times 625}{28}=\frac{6875}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि समकोण ∆RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x RP x PQ
⇒ ar (∆RPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 7 x 24 = 84 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (अर्द्धवृत्त RPQ) – ar (∆RPQ)
⇒ ar (छायांकित भाग) = \(\frac{6875}{28}-84=\frac{6875-2352}{28}=\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :
मान लीजिए संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 14 cm एवं r2 = 7 cm तथा ∠θ = ∠AOC = ∠BOD = 40°
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² है।
प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD तथा BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।
हल :
ज्ञात है : वर्ग की भुजा a = 14 cm
अर्द्धवृत्त का व्यास 2r = 14 cm अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
दोनों अर्द्धवृत्त एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
चूँकि छायांकित भाग का क्षेत्रफल, ar (छायांकित भाग) = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – m²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।
प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एकवृत्तीय चाप खींचा
गया है।
हल :
चित्रानुसार छायांकित भाग में एक a = 12 cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज तथा एक 6 cm त्रिज्या का कोण θ = 360° – 60° = 300° वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड सम्मिलित है।
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) + ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{660}{7}+36 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है कि a = 4 cm भुजा वाले एक वर्ग ABCD के बीच में व्यास 2 cm अर्थात् 1 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त तथा 1 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के 4 चतुर्थांश चारों कोनों में से काटे गए हैं। इस प्रकार वर्ग से 1 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त काटे गए हैं।
छायांकित (वृत्त के शेष) भाग का क्षेत्रफल
= वर्ग का क्षेत्रफल – 2 x वृत्त का क्षेत्रफल
ar (छायांकित मान) = a² – 2 x πr²
= (4)² – 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (1)²
= \(16-\frac{44}{7}=\frac{112-44}{7}=\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः वर्ग के शेष भाग (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\) हैं।
प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज पोश जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दिया हुआ वृत्त दिए हुए समबाहु त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है जिसका केन्द्र O त्रिभुज की माध्यिका AD पर स्थित है तथा AO = r = 32 cm तथा OD = \(\frac{r}{2}=\frac{32}{2}\) = 16 cm (O के माध्यिका B को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है)
⇒ AD = 32 + 16 = 48 cm
समकोण ∆ADB में पाइथागोरस एक प्रमेस से,
a² – \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\) = (AD)² = (48)²
अत: डिजाइन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में ABCD एक 14 cm भुजा वाला वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।
प्रश्न 8.
संलग्न आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।
दोनों आन्तरिक समानान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल :
ज्ञात है कि सिरे के दोनों अर्धवृत्ताकार मार्ग एक वृत्ताकार वलय का निर्माण करते हैं तथा समानान्तर रेखाखण्ड दो b = 10 m चौड़े तथा l = 106 m लम्बे आयताकार खण्डों का निर्माण करते हैं। वृत्त की आन्तरिक त्रिज्या r2 = \(\frac { 60 }{ 2 }\) = 30 m तथा बाह्य त्रिज्या r1 = 30 + 10 = 40 m है।
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक चक्कर लगाने में चली गयी दूरी
= वृत्त की आन्तरिक परिधि + 2 x समानान्तर रेखाखण्ड की लम्बाई
= 2πr2 + 2l
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 30 + 2 x 106
= \(\frac { 1320 }{ 7 }\) + 212
= \(\frac { 1320+1484 }{ 7 }\)
= \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m
अत: एक चक्कर लगाने में चली गयी अभीष्ट दूरी = \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m है।
(ii) पथ का क्षेत्रफल = वृत्त के वलय का क्षेत्रफल + 2 x आयताकार खण्ड का क्षेत्रफल
= π (r12 – r22) + 2 x l x b
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) [(40)² – (30)²] + 2 x 106 x 10
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (1600 – 900) + 2120
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 700 + 2120
= 2200 + 2120
= 4320 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 4320 m² है।
प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में AB और CD केन्द्र O वाले वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चित्रानुसार बड़े वृत्त की त्रिज्या r1 = OA = 7 cm (दिया है) = OB = OC = OD छोटे वृत्त का व्यास d = OD = OA = 7 cm
⇒ छोटे वृत्त की त्रिज्या \(r_{2}=\frac{d}{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
त्रिभुज ABC का आधार AB = OA + OB
= 7 + 7
= 14 cm
तथा उसका शीर्षलम्ब OC = OA = 7 cm
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल [देखिए संलग्न आकृति]
⇒ ar (छायांकित भाग)
= 38.5 + 77 – 49
= 115.5 – 49
= 66.5 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल= 66.5 cm² है।
प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए संलग्न आकृति 12.24) छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)
हल :
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा a cm है तो
∵ वृत्त के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = 100 cm एवं केन्द्र पर बना कोण θ = 60° (समबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण)
∵ तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = \(3 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)
= 3 x \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x (100)²
3ar (त्रिज्यखण्ड) = 1.57 x 10000
= 15700 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (ABC) – 3ar (त्रिज्यखण्ड)
= 17320.5 – 15700
= 1620.5 cm².
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1620.5 cm² है।
प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें A से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए संलग्न आकृति 12.25) रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है : क वर्गाकार रूमाल पर 9 समान वृत्ताकार डिजाइन जिनमें प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r = 7 cm है।
⇒ वर्ग की भुजा a = 6 x 7 cm
= 42 cm (चित्रानुसार)
वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = a² = (42)²
= 1764 cm²
एवं 9 वृत्ताकार डिजायनों के क्षेत्रफल = 9 x πr²
= 9 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 1386 cm²
शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों के क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
अतः रूमाल के शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm² है।
प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।
हल :
चूँकि OB = OA = 3.5 cm = r वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या दी हुई है।
OD = 2 cm (दिया है)
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
ar (OACB) = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(3 \cdot 5)^{2}=\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: चतुर्थांश OACB का अभीष् क्षेत्रफल \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।
(ii) समकोण ADOB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BO x OD
ar (DOB) = \(\frac{1}{2} \times 3 \cdot 5 \times 2=3 \cdot 5 \mathrm{cm}^{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (OACB) – ar (DOB)
= \(\frac{77}{8}-\frac{7}{2}=\frac{77-28}{8}=\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल \(\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.27 में एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।) हल :
दिया है : चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत बना वर्ग OABC जिसकी
भुजा a = OA = 20 cm दी है।
चूँकि चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या r = OB है जो वर्ग OABC का विकर्ण है।
r = a√2 = 20√2 cm
चतुर्थांश का क्षेत्रफल
वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (20)² = 400 cm²
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 628 – 400 = 228 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 228 cm² है।
प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 और त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के दो चाप है (देखिए संलग्न आकृति 12.28)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या r1 = 21 cm एवं शीर्ष कोण θ = 30°
एवं त्रिज्यखण्ड OCD की त्रिज्या r2 = 7 cm एवं कोण θ = 30° है।
ar (OCD) = \(\frac { 77 }{ 6 }\) cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) – ar (OCD)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 308 }{ 3 }\) cm² है।
प्रश्न 15.
संलग्न आकृति 12.29 में ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चित्रानुसार समकोण समद्विबाहु त्रिभुज BAC में ∠A = 90°,
भुजा a = AB = AC = वृत्त की त्रिज्या = r1 = 14 cm
समकोण ∆BAC में,
= अर्द्ध वृत्त का व्यास
ar (छायांकित भाग) = ar (BAC) + ar (अर्द्धवृत्त) – ar (चतुर्थांश)
= 98 + 154 – 154
= 98 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 98 cm² है।
प्रश्न 16.
संलग्न आकृति 12.30 में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :
प्रथम विधि-आकृति के अनुसार छायांकित भाग दो चतुर्थांशों की अवधाओं से मिलकर बना है। चतुर्थांश की त्रिज्या r = 8 cm है तथा समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ = 8 cm जो कि P वृत्त की त्रिज्या है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}=\frac{352}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
एवं संगत समकोण ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 x 8 = 32 cm
⇒ संगत अवधा का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 2 x अवधा का क्षेत्रफल
= 2 x \(\frac { 128 }{ 7 }\)
= \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm² है।
द्वितीय विधि (वैकल्पिक विधि)-
दी हुई आकृति के अनुसार छायांकित डिजायन दो समान चतुर्थांशों के योग में से वर्ग को घटाकर बनाया गया है।
चूँकि 2 x ar (चतुर्थांश) = \(2 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}\)
= \(\frac{704}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि ar (वर्ग) = (8)² = 64 cm²
चूँकि ar (छायांकित डिजायन) = 2 x ar (चतुर्थांश) – ar (वर्ग)
= \(\frac{704}{7}-64=\frac{704-448}{7}=\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः छायांकित डिजायन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।
In this post, we will share NCERT Class 10th Maths Book Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3. These solutions are based on new NCERT Syllabus.
NCERT Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3
प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।
हल :
∠RPQ = 90° (अर्द्धवृत्त का कोण है)
समकोण ∆RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
चूँकि QR² = PQ² + PR²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
= (25)²
⇒ OR = 25
⇒ 2r = 25
⇒ \(r=\frac { 25 }{ 2 }\) [∵ QR वृत्त का व्यास है] .
चूँकि अर्द्धवृत्त RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}\)
⇒ ar (अर्द्धवृत्त RPQ) = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{11 \times 625}{28}=\frac{6875}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि समकोण ∆RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x RP x PQ
⇒ ar (∆RPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 7 x 24 = 84 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (अर्द्धवृत्त RPQ) – ar (∆RPQ)
⇒ ar (छायांकित भाग) = \(\frac{6875}{28}-84=\frac{6875-2352}{28}=\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :
मान लीजिए संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 14 cm एवं r2 = 7 cm तथा ∠θ = ∠AOC = ∠BOD = 40°
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² है।
प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD तथा BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।
हल :
ज्ञात है : वर्ग की भुजा a = 14 cm
अर्द्धवृत्त का व्यास 2r = 14 cm अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
दोनों अर्द्धवृत्त एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
चूँकि छायांकित भाग का क्षेत्रफल, ar (छायांकित भाग) = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – m²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।
प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एकवृत्तीय चाप खींचा
गया है।
हल :
चित्रानुसार छायांकित भाग में एक a = 12 cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज तथा एक 6 cm त्रिज्या का कोण θ = 360° – 60° = 300° वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड सम्मिलित है।
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) + ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{660}{7}+36 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है कि a = 4 cm भुजा वाले एक वर्ग ABCD के बीच में व्यास 2 cm अर्थात् 1 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त तथा 1 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के 4 चतुर्थांश चारों कोनों में से काटे गए हैं। इस प्रकार वर्ग से 1 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त काटे गए हैं।
छायांकित (वृत्त के शेष) भाग का क्षेत्रफल
= वर्ग का क्षेत्रफल – 2 x वृत्त का क्षेत्रफल
ar (छायांकित मान) = a² – 2 x πr²
= (4)² – 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (1)²
= \(16-\frac{44}{7}=\frac{112-44}{7}=\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः वर्ग के शेष भाग (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\) हैं।
प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज पोश जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दिया हुआ वृत्त दिए हुए समबाहु त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है जिसका केन्द्र O त्रिभुज की माध्यिका AD पर स्थित है तथा AO = r = 32 cm तथा OD = \(\frac{r}{2}=\frac{32}{2}\) = 16 cm (O के माध्यिका B को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है)
⇒ AD = 32 + 16 = 48 cm
समकोण ∆ADB में पाइथागोरस एक प्रमेस से,
a² – \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\) = (AD)² = (48)²
अत: डिजाइन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में ABCD एक 14 cm भुजा वाला वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।
प्रश्न 8.
संलग्न आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।
दोनों आन्तरिक समानान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल :
ज्ञात है कि सिरे के दोनों अर्धवृत्ताकार मार्ग एक वृत्ताकार वलय का निर्माण करते हैं तथा समानान्तर रेखाखण्ड दो b = 10 m चौड़े तथा l = 106 m लम्बे आयताकार खण्डों का निर्माण करते हैं। वृत्त की आन्तरिक त्रिज्या r2 = \(\frac { 60 }{ 2 }\) = 30 m तथा बाह्य त्रिज्या r1 = 30 + 10 = 40 m है।
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक चक्कर लगाने में चली गयी दूरी
= वृत्त की आन्तरिक परिधि + 2 x समानान्तर रेखाखण्ड की लम्बाई
= 2πr2 + 2l
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 30 + 2 x 106
= \(\frac { 1320 }{ 7 }\) + 212
= \(\frac { 1320+1484 }{ 7 }\)
= \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m
अत: एक चक्कर लगाने में चली गयी अभीष्ट दूरी = \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m है।
(ii) पथ का क्षेत्रफल = वृत्त के वलय का क्षेत्रफल + 2 x आयताकार खण्ड का क्षेत्रफल
= π (r12 – r22) + 2 x l x b
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) [(40)² – (30)²] + 2 x 106 x 10
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (1600 – 900) + 2120
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 700 + 2120
= 2200 + 2120
= 4320 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 4320 m² है।
प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में AB और CD केन्द्र O वाले वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चित्रानुसार बड़े वृत्त की त्रिज्या r1 = OA = 7 cm (दिया है) = OB = OC = OD छोटे वृत्त का व्यास d = OD = OA = 7 cm
⇒ छोटे वृत्त की त्रिज्या \(r_{2}=\frac{d}{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
त्रिभुज ABC का आधार AB = OA + OB
= 7 + 7
= 14 cm
तथा उसका शीर्षलम्ब OC = OA = 7 cm
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल [देखिए संलग्न आकृति]
⇒ ar (छायांकित भाग)
= 38.5 + 77 – 49
= 115.5 – 49
= 66.5 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल= 66.5 cm² है।
प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए संलग्न आकृति 12.24) छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)
हल :
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा a cm है तो
∵ वृत्त के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = 100 cm एवं केन्द्र पर बना कोण θ = 60° (समबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण)
∵ तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = \(3 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)
= 3 x \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x (100)²
3ar (त्रिज्यखण्ड) = 1.57 x 10000
= 15700 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (ABC) – 3ar (त्रिज्यखण्ड)
= 17320.5 – 15700
= 1620.5 cm².
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1620.5 cm² है।
प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें A से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए संलग्न आकृति 12.25) रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है : क वर्गाकार रूमाल पर 9 समान वृत्ताकार डिजाइन जिनमें प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r = 7 cm है।
⇒ वर्ग की भुजा a = 6 x 7 cm
= 42 cm (चित्रानुसार)
वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = a² = (42)²
= 1764 cm²
एवं 9 वृत्ताकार डिजायनों के क्षेत्रफल = 9 x πr²
= 9 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 1386 cm²
शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों के क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
अतः रूमाल के शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm² है।
प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।
हल :
चूँकि OB = OA = 3.5 cm = r वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या दी हुई है।
OD = 2 cm (दिया है)
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
ar (OACB) = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(3 \cdot 5)^{2}=\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: चतुर्थांश OACB का अभीष् क्षेत्रफल \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।
(ii) समकोण ADOB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BO x OD
ar (DOB) = \(\frac{1}{2} \times 3 \cdot 5 \times 2=3 \cdot 5 \mathrm{cm}^{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (OACB) – ar (DOB)
= \(\frac{77}{8}-\frac{7}{2}=\frac{77-28}{8}=\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल \(\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।
प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.27 में एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।) हल :
दिया है : चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत बना वर्ग OABC जिसकी
भुजा a = OA = 20 cm दी है।
चूँकि चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या r = OB है जो वर्ग OABC का विकर्ण है।
r = a√2 = 20√2 cm
चतुर्थांश का क्षेत्रफल
वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (20)² = 400 cm²
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 628 – 400 = 228 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 228 cm² है।
प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 और त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के दो चाप है (देखिए संलग्न आकृति 12.28)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या r1 = 21 cm एवं शीर्ष कोण θ = 30°
एवं त्रिज्यखण्ड OCD की त्रिज्या r2 = 7 cm एवं कोण θ = 30° है।
ar (OCD) = \(\frac { 77 }{ 6 }\) cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) – ar (OCD)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 308 }{ 3 }\) cm² है।
प्रश्न 15.
संलग्न आकृति 12.29 में ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चित्रानुसार समकोण समद्विबाहु त्रिभुज BAC में ∠A = 90°,
भुजा a = AB = AC = वृत्त की त्रिज्या = r1 = 14 cm
समकोण ∆BAC में,
= अर्द्ध वृत्त का व्यास
ar (छायांकित भाग) = ar (BAC) + ar (अर्द्धवृत्त) – ar (चतुर्थांश)
= 98 + 154 – 154
= 98 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 98 cm² है।
प्रश्न 16.
संलग्न आकृति 12.30 में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :
प्रथम विधि-आकृति के अनुसार छायांकित भाग दो चतुर्थांशों की अवधाओं से मिलकर बना है। चतुर्थांश की त्रिज्या r = 8 cm है तथा समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ = 8 cm जो कि P वृत्त की त्रिज्या है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}=\frac{352}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
एवं संगत समकोण ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 x 8 = 32 cm
⇒ संगत अवधा का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 2 x अवधा का क्षेत्रफल
= 2 x \(\frac { 128 }{ 7 }\)
= \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm² है।
द्वितीय विधि (वैकल्पिक विधि)-
दी हुई आकृति के अनुसार छायांकित डिजायन दो समान चतुर्थांशों के योग में से वर्ग को घटाकर बनाया गया है।
चूँकि 2 x ar (चतुर्थांश) = \(2 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}\)
= \(\frac{704}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि ar (वर्ग) = (8)² = 64 cm²
चूँकि ar (छायांकित डिजायन) = 2 x ar (चतुर्थांश) – ar (वर्ग)
= \(\frac{704}{7}-64=\frac{704-448}{7}=\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः छायांकित डिजायन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।
